Ứng dụng của số phức chứng minh lượng giác

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

k2pi.net.vnTRANG CHỦ k2pi.net.vnTTLT THANH LONG k2pi.net.vnTÀI LIỆU TOÁN THPT k2pi.net.vn ĐỀ THI THPT QUỐC GIA k2pi.net.vn Upload k2pi.net.vnĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TÀI LIỆU MÔN TOÁN THPT giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Tài liệu: Số phức - Lượng giác giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Tài liệu hệ thức lượng Tam giác


 
Công cụ bài viết Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 11-07-2014, 18:55
Avatar của congson215
congson215 congson215 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thừa Thiên Huế
Nghề nghiệp: HS-THPT chuyên QHH
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 96
Điểm: 12 / 1373
Kinh nghiệm: 85%

Thành viên thứ: 27513
 
Tham gia ngày: Jul 2014
Bài gửi: 37

Lượt xem bài này: 1385
Mặc định Ứng dụng của số phức chứng minh lượng giác

Tính tổng: tan$\alpha +sin\beta $
Ví dụ: tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$=$\sqrt{11}$

Ta có: $e^{i\alpha }=cos\alpha +isin\alpha $
$e^{-i\alpha }=cos\alpha -isin\alpha $
Thì: 2cos$\alpha =e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }$
2isin$\alpha =e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }$
Áp dụng:
đặt $e^{\frac{2i\pi }{11}}=x$
Ta có: $4isin\frac{2\pi }{11}=2.(e^{\frac{2\pi i}{11}}-e^{\frac{-2\pi i}{11}})$
$=2(x-e^{\frac{20\pi i}{11}})=2(x-x^{10})$
và ta có $itan\alpha=\frac{e^{2\alpha }-1}{e^{2\alpha }+1} $
cho nên i$tan\frac{3\pi }{11}=\frac{e^{\frac{6\pi i}{11}}-1}{e^{\frac{6\pi i}{11}}+1}=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$
Mặt khác: 1=$e^{\frac{66\pi i}{11}}$=$x^{33}$
Cho nên: i$tan\frac{3\pi }{11}=\frac{x^{3}-x^{33}}{x^{3}+1}$=$x^{3}(1-x^{3})(1+x^{6}+x^{12}+x^{18}+x^{24}
)$=
$=x^{3}+x^{9}+x^{15}+x^{21}+x^{27}-x^{6}-x^{12}-x^{18}-x^{24}-x^{30}$
=$x^{3}+x^{9}+x^{4}+x^{10}+x^{5}-x^{6}-x-x^{7}-x^{2}-x^{8}$
thì i(tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$)=$x^{3}+x^{9}+x^{4}+x^{10}+x^{5}$-($x^{6}+x+x^{7}+x^{2}+x^{8})$
Đặt: S=$x^{3}+x^{9}+x^{4}+x^{10}+x^{5}$
P=$x^{6}+x+x^{7}+x^{2}+x^{8}$=$x^{-3}+x^{-9}+x^{-4}+x^{-10}+x^{-5}$
thì 1+S+P=$\frac{x^{11}-1}{x-1}$=0$\Leftrightarrow $S+P=-1
S.P=5+2(S+P)=3
$\Rightarrow $S-P=i$\sqrt{11}$
cho nên i(tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$)=i((S-P)=i$\sqrt{11}$
tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$=$\sqrt{11}$

Tương tự: một số bài toán áp dụng:
1: $tan\frac{4\pi }{11}+4sin\frac{\pi }{11}=\sqrt{11}$
2: $tan\frac{\pi }{9}+4sin\frac{\pi }{9}=\sqrt{3}$
3: $tan\frac{\pi }{7}-4sin\frac{2\pi }{7}=-\sqrt{7}$
(ý tưởng của Kee-wai Lan và Bob Prielipp)


Trường THPT chuyên Quốc Học Huế


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Từ khóa
ứng dụng của số phức lượng giác
Công cụ bài viết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên