Tìm GTLN $ P=\frac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+ b+c}$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 10-12-2014, 12:40
Avatar của MÍt Mật
MÍt Mật MÍt Mật đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 43
Điểm: 5 / 499
Kinh nghiệm: 74%

Thành viên thứ: 29959
 
Tham gia ngày: Nov 2014
Bài gửi: 16
Đã cảm ơn : 3
Đã được cảm ơn 1 lần trong 1 bài viết

Lượt xem bài này: 475
Mặc định Tìm GTLN $ P=\frac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+ b+c}$

Bài 27: Cho ba số thực dương $ a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$.
Tìm GTLN của $ P=\frac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+ b+c}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 10-12-2014, 18:38
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Software Engineering
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 811
Điểm: 515 / 11000
Kinh nghiệm: 44%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.547
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.246 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTLN $ P=\frac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+ b+c}$

Nguyên văn bởi MÍt Mật Xem bài viết
Bài 27: Cho ba số thực dương $ a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$.
Tìm GTLN của $ P=\frac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+ b+c}$
Hướng Dẫn:

Áp dụng BĐT BCS ta có:
$$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2a}\leq \sqrt{2(1+a^2+2a)}=\sqrt{2}(a+1)$$
Tương tự ta suy ra được:
$$ \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{2} \left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right) \leq \sqrt{2} \left( a+b+c+3 \right) \\ \Leftrightarrow \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2} \le \sqrt{2} \left(a+b+c+3 \right) - \sqrt{2} \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right) ~~~~~(*)$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3~~~~(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra:
$$ \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2} \le \sqrt{2} \left( a+b+c+3 \right) - 3\sqrt{2} \\ \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2} \le \sqrt{2}\left(a+b+c \right) \\ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+b +c} \le \sqrt{2}$$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.
Vậy $$Max_P=\sqrt{2}$$


Nguyễn Minh Đức - ĐH FPT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
pttha (10-12-2014), MÍt Mật (10-12-2014), The_Prince (10-12-2014)
  #3  
Cũ 13-12-2014, 21:40
Avatar của Trần Quốc Việt
Trần Quốc Việt Trần Quốc Việt đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Nạn Đói 45
 
Cấp bậc: 40 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 195 / 978
Điểm: 827 / 11292
Kinh nghiệm: 13%

Thành viên thứ: 29146
 
Tham gia ngày: Nov 2014
Bài gửi: 2.483
Đã cảm ơn : 489
Được cảm ơn 2.375 lần trong 1.096 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTLN $ P=\frac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+ b+c}$

Nguyên văn bởi Nguyễn Minh Đức Xem bài viết
Hướng Dẫn:

Áp dụng BĐT BCS ta có:
$$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2a}\leq \sqrt{2(1+a^2+2a)}=\sqrt{2}(a+1)$$
Tương tự ta suy ra được:
$$ \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}+\sqrt{2} \left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right) \leq \sqrt{2} \left( a+b+c+3 \right) \\ \Leftrightarrow \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2} \le \sqrt{2} \left(a+b+c+3 \right) - \sqrt{2} \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right) ~~~~~(*)$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3~~~~(**)$$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy ra:
$$ \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2} \le \sqrt{2} \left( a+b+c+3 \right) - 3\sqrt{2} \\ \sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2} \le \sqrt{2}\left(a+b+c \right) \\ \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}}{a+b +c} \le \sqrt{2}$$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$.
Vậy $$Max_P=\sqrt{2}$$
Không đụng hàng nhé Nguyễn Minh Đức
Xét hàm số $f(x)=\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}lnx$ với $x>0$ ta có
$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}x}$
$=\frac{1-x}{x\sqrt{2}\sqrt{1+x^{2}}}.\frac{x\frac{1+2x^{2}} {\sqrt{2+2x^{2}+1}}+1}{x\sqrt{2}+\sqrt{1+x^{2}}}$
$f(x)=0$ $<=>$ $x=1$
Lập bảng biến thiên ta có $f(x)\leq f(1)=0$
Từ đó ta có $\sqrt{1+x^{2}}\leq \sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}lnx$ với mọi $x$ dương
Áp dụng BĐT trên ta có $\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+a^{2}}\leq \sqrt{2}(a+b+c)-\frac{\sqrt{2}}{2}(lna+lnb+lnc)$
$=\sqrt{2}(a+b+c)-\frac{\sqrt{2}}{2}ln(abc)=\sqrt{2}(a+b+c)$
Suy ra $P\leq \sqrt{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Vậy $maxP=\sqrt{2}$ đạt được khi $a=b=c=1$


Trần Quốc Việt


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên