Cho các số dương a,b,c thoả $ab + bc + ca = 3.$Chứng minh rằng: $ \frac{1}{{1 + a^2 (b + c)}} + \frac{1}{{1 + b^2 (c + a)}} + \frac{1}{{1 + c^2 (a + b)}} \le \frac{1}{{abc}}.$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 02-04-2013, 10:23
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 13909
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 887
Được cảm ơn 844 lần trong 531 bài viết

Lượt xem bài này: 1183
Mặc định Cho các số dương a,b,c thoả $ab + bc + ca = 3.$Chứng minh rằng: $ \frac{1}{{1 + a^2 (b + c)}} + \frac{1}{{1 + b^2 (c + a)}} + \frac{1}{{1 + c^2 (a + b)}} \le \frac{1}{{abc}}.$

Cho các số dương a,b,c thoả $ab + bc + ca = 3.$Chứng minh rằng: $
\frac{1}{{1 + a^2 (b + c)}} + \frac{1}{{1 + b^2 (c + a)}} + \frac{1}{{1 + c^2 (a + b)}} \le \frac{1}{{abc}}.$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (02-04-2013), Tuấn Anh Eagles (02-04-2013)
  #2  
Cũ 02-04-2013, 12:38
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 15695
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.191 lần trong 1.384 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho các số dương a,b,c thoả $ab + bc + ca = 3.$Chứng minh rằng: $
\frac{1}{{1 + a^2 (b + c)}} + \frac{1}{{1 + b^2 (c + a)}} + \frac{1}{{1 + c^2 (a + b)}} \le \frac{1}{{abc}}.$
P/S: Catbuilata mỗi lần post bài nhiều phết.
Hướng dẫn:


Đặt $a= \dfrac{1}{x},\ b= \dfrac{1}{y},\ c= \dfrac{1}{z}.$ Suy ra $\begin{cases}x,y,z>0\\ x+y+z=3xyz\end{cases}$. Bất đẳng thức trở thành
\[\dfrac{x}{x^2yz+y+z}+ \dfrac{y}{xy^2z+z+x}+\dfrac{z}{xyz^2+x+y}\le 1\ (1)\]
Ta có $3xyz=x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}\iff xyz\ge 1.$ Suy ra
$$\dfrac{x}{x^2yz+y+z}= \dfrac{x}{x(xyz-1)+3xyz}\le \dfrac{x}{3xyz}= \dfrac{1}{3yz}$$
Tương tự cho các biểu thức còn lại ta suy ra được
\[VT(1)\le \dfrac{1}{3yz}+ \dfrac{1}{3zx}+ \dfrac{1}{3xy}= \dfrac{x+y+z}{3xyz}=1\]
Như vậy bài toán đã được giải quyết hoàn toàn!
Từ cách chứng minh trên ta có thêm một cách chứng minh ngắn hơn và đẹp như sau:
Cách 2:
Từ giả thiết suy ra $0<abc\le 1$. Và
\[\dfrac{1}{1+a^2(b+c)}= \dfrac{1}{1+a(3-bc)}= \dfrac{1}{3a+(1-abc)}\le \dfrac{1}{3a}\]
Tương tự cho các biểu thức còn lại ta có được
\[\sum \dfrac{1}{{1 + a^2 (b + c)}}\le \dfrac{1}{3a}+ \dfrac{1}{3b}+ \dfrac{1}{3c}= \dfrac{ab+bc+ca}{3abc}= \dfrac{1}{abc}\]


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (03-04-2013), Hà Nguyễn (02-04-2013), hbtoanag (02-04-2013), hiếuctb (02-04-2013), Miền cát trắng (02-04-2013), Nguyễn Bình (02-04-2013), Tuấn Anh Eagles (02-04-2013), wakeup (02-04-2013)
  #3  
Cũ 03-04-2013, 08:59
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 13909
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 887
Được cảm ơn 844 lần trong 531 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
P/S: Catbuilata mỗi lần post bài nhiều phết.
Dạ năng lực yếu kém nên phải học tập nhiều Thầy ạ. Nếu được ở gần nhà quý Thầy admin của K2pi.net em nhất quyết sẽ đi học nội trú ở nhà các Thầy để sớm thành chánh quả .Rất hâm mộ tài hoa của Quý Thầy


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiếu Titus (30-09-2015), Piccolo San (14-11-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$, $ab, 3$chứng, a2, b2, bc, c2, ca, các, cho, dương, frac11, frac1abc$, le, minh, rằng, số, thoả
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên