|
|
| Công cụ bài viết | Tìm trong chủ đề này | Kiểu hiển thị |
#1 |
![]() Giải hệ phương trình $$\begin{cases} \sqrt{x^3 + y^6}\ \ \bigg ( 2 + \dfrac{x^4}{x^3 + 5y^6} \bigg ) = \dfrac{22}{5}x^2 \\ \\2\dfrac{y^3}{x^4} - \dfrac{x^3}{x^3 + 5y^6} = \dfrac{9}{10}x^2 \end{cases}$$ |
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của Nắng vàng | ||
suddenly.nb1 (25-05-2013) |
#2 | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
![]()
|
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của nthoangcute | ||
suddenly.nb1 (25-05-2013) |
#3 | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
![]() Mình nghĩ vế phải của phương trình (2) phải là $\dfrac{9}{10x^2}$ Nếu đúng thế thì đây là 1 bài toán ý tưởng khá hay mà quen thuộc ![]() ![]() |
#4 | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
![]()
![]() Thực ra bài toán này trước đây một người bạn trên facebook đã "tặng" cho mình ![]() $$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^3+y^6}\left(2+\dfrac{x^4}{x^3+5y^6}\right) =\dfrac{22x^2}{5}\\ \dfrac{2y^3}{x^4}-\dfrac{y^3}{x^3+5y^6}=\dfrac{9}{10x^2} \end{array}\right.$$ Còn đây là lời giải của mình vẫn còn lưu trong file LaTeX nên copy luôn cho nhanh ![]() Giải Đây là một bài khá khó chơi bởi hình thức cồng kềnh của nó đã che giấu đi ý tưởng của bài toán. Một lần tình cờ xem lại câu VM0 95-96. Tôi vô tình đã phát hiện ra sự tương đồng giữa nó và bài này, từ đó đã giải thành công nó. Hiển nhiên bài này ở level cao hơn. Điều kiện : $x^3+y^6\geq 0, x\neq 0, x^3+5y^6\neq 0$\\ Ta chia phương trình (2) cho $\dfrac{y^3}{x^4}$ và lập một hệ mới sau đây \[\left\{ \begin{array}{l} 2 + \dfrac{{{x^4}}}{{{x^3} + 5{y^6}}} = \dfrac{{22{x^2}}}{{5\sqrt {{x^3} + {y^6}} }}\\ 2 - \dfrac{{{x^4}}}{{{x^3} + 5{y^6}}} = \dfrac{{9{x^2}}}{{10{y^3}}} \end{array} \right.\] Đến đây hẳn cũng có người nhận ra ý tưởng quen thuộc của VMO. Hệ đã cho tương đương \[\left\{ \begin{array}{l} 2 = \dfrac{{11{x^2}}}{{5\sqrt {{x^3} + {y^6}} }} + \dfrac{{9{x^2}}}{{20{y^3}}}\\ \dfrac{{{x^4}}}{{{x^3} + 5{y^6}}} = \dfrac{{11{x^2}}}{{5\sqrt {{x^3} + {y^6}} }} - \dfrac{{9{x^2}}}{{20{y^3}}} \end{array} \right.\] Nhân 2 phương trình vế với vế và ta suy ra \[\dfrac{{2{x^4}}}{{{x^3} + 5{y^6}}} = \dfrac{{121{x^4}}}{{25\left( {{x^3} + {y^6}} \right)}} - \dfrac{{81{x^4}}}{{400{y^6}}}\] Hiển nhiên rút gọn được $x^4\neq 0$. Còn lại một phương trình thuần nhất giữa 2 biến $x^3$ và $y^6$. Như vậy ta nên chia cả 2 vế cho $x^3\neq 0$. Phương trình trở thành \[\dfrac{2}{{1 + 5t}} = \dfrac{{121}}{{25(1 + t)}} - \dfrac{{81}}{{400t}} \quad\quad\left( {t = \dfrac{{{y^6}}}{{{x^3}}}} \right)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=\dfrac{1}{15}\\ t=-\dfrac{81}{565} \end{array}\right.\] Nghiệm $t$ thứ hai loại do điều kiện căn thức. Từ đó suy ra $y^6=\dfrac{x^3}{15}$ thay lên (1) ta được $\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{15}}\left(2+\dfrac{3x}{4} \right)=\dfrac{22x}{5}$ Phương trình này không khó. Bình phương giải bậc 3 thôi. Ta sẽ giải ra \[\left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{4}{{15}} \to y = \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{64}}{{50625}}}}\\ x = \dfrac{{80}}{3} \to y = \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{102400}}{{81}}}} \end{array} \right.\] Vậy hệ đã cho có nghiệm : $(x;y)=\left(\dfrac{4}{{15}};\pm \sqrt[6]{{\dfrac{{64}}{{50625}}}}\right),\left(\dfrac{{80} }{3};\pm \sqrt[6]{{\dfrac{{102400}}{{81}}}}\right)\square$ |
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của Shirunai Okami | ||
N H Tu prince (29-09-2013) |
![]() ![]() | Thích và chia sẻ bài viết này: |
Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách) | |
Từ khóa |
$$begincases, $begincases, 2, 5y6, bigg, dfrac225x2, dfrac910x2, dfracx3x3, dfracx4x3, endcases$, endcases$$, giải, hệ, or 2dfracy3x4, phương, sqrtx3, trình, y6 |
Công cụ bài viết | Tìm trong chủ đề này |
Kiểu hiển thị | |
| |
Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn |