Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán: Số phức - Lượng giác giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải bài tập Số phức


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 14-01-2013, 11:08
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 13904
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 887
Được cảm ơn 844 lần trong 531 bài viết

Lượt xem bài này: 2287
Mặc định Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$

Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
FOR U (15-01-2013), Phạm Kim Chung (14-01-2013)
  #2  
Cũ 15-01-2013, 10:12
Avatar của Phạm Kim Chung
Phạm Kim Chung Phạm Kim Chung đang ẩn
Sáng lập: K2pi -Toán THPT
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: GV THPT
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 83 / 838
Điểm: 559 / 16727
Kinh nghiệm: 52%

Thành viên thứ: 1
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gửi: 1.677
Đã cảm ơn : 1.869
Được cảm ơn 6.144 lần trong 1.212 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$
Giả sử $z=a+bi ; a,b \in R $
Từ : $\left| z \right| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b^2} = 1 - {a^2}\,}\\
{ - 1 \le a \le 1}
\end{array}} \right.$
Ta có :
\[{z^3} - 1 = {\left( {a + bi} \right)^3} - 1 = \left( {{a^3} - 3a{b^2} - 1} \right) + \left( {3{a^2}b - {b^3}} \right)i\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left| {{z^3} - 1} \right| = \sqrt {{{\left( {{a^3} - 3a{b^2} - 1} \right)}^2} + {b^2}{{\left( {3{a^2} - {b^2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left[ {{a^3} - 3a\left( {1 - {a^2}} \right) - 1} \right]}^2} + \left( {1 - {a^2}} \right){{\left[ {3{a^2} - \left( {1 - {a^2}} \right)} \right]}^2}} \\
= \sqrt {{{\left( {4{a^3} - 3a - 1} \right)}^2} + \left( {1 - {a^2}} \right){{\left( {4{a^2} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2}{{\left( {2a + 1} \right)}^4} + \left( {1 - {a^2}} \right){{\left( {4{a^2} - 1} \right)}^2}} \\
= \sqrt {\left( {1 - a} \right){{\left( {2a + 1} \right)}^2}\left[ {\left( {1 - a} \right){{\left( {2a + 1} \right)}^2} + \left( {1 + a} \right){{\left( {2a - 1} \right)}^2}} \right]} = \sqrt {2\left( {1 - a} \right){{\left( {2a + 1} \right)}^2}}
\end{array}\]

Xét hàm : $ f(a) = (1-a)(1+2a)^2$ trên $[-1;1]$, ta có :
$f'(a) = - {(1 + 2a)^2} + 4(1 - a)(1 + 2a) = 3(1 + 2a)\left( {1 - 2a} \right) $
Lúc đó :
\[\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{a = - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\]
\[\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( a \right) = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = - 1}\\
{a = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\]
Hay :...
PS : Không biết em có tính nhầm chỗ nào không ?


Never study to be successful, study for self efficiency. Don’t run behind success. Follow behind excellence, success will come all way behind you.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (15-01-2013), hbtoanag (15-01-2013), Mạnh (15-01-2013)
  #3  
Cũ 19-08-2013, 23:36
Avatar của thanhbinhmath
thanhbinhmath thanhbinhmath đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thanh Hóa
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 12 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 286
Điểm: 60 / 4751
Kinh nghiệm: 47%

Thành viên thứ: 4337
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 180
Đã cảm ơn : 107
Được cảm ơn 208 lần trong 88 bài viết

Mặc định Re: Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$
Ta có $|z^3-1|\leq |z^3|+1=|z|^3+1=2$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow z=-1$.
Vậy GTLN của $|z^3-1|$ là 2.
Ta lại có $|z^3-1|\geq ||z^3|-1|=||z|^3-1|=0$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow z=1$
Vậy GTNN của $|z^3-1|$ là 0.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  thanhbinhmath 
khanhsy (17-04-2014)
  #4  
Cũ 25-03-2014, 21:00
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 2665
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 214 lần trong 64 bài viết

Mặc định Re: Cho số phức $z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $\left| {z^3 - 1} \right|$

Nguyên văn bởi thanhbinhmath Xem bài viết
Ta lại có $|z^3-1|\geq ||z^3|-1|=||z|^3-1|=0$.
Lại còn cố đi chứng minh module ko âm nữa chứ


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$left|, của, phức, right|$, so phuc, tim gtnn module so phuc
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên