Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện : $$f(x^2+f ( y) )=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

11-10-2014, 19:46

$\huge{\mathcal{Sakura}}$

Đến từ: Quảng Trị

Nghề nghiệp: Mou koi nante shinai

Sở thích: Anime, Inequalities.

Cấp bậc: 18 [ ♥ Bé-Yêu ♥

]
Hoạt động: 0 / 427

Điểm: 125 / 6637

Kinh nghiệm: 10%

Thành viên thứ: 24893

Tham gia ngày: Apr 2014

Bài gửi: 377

Lượt xem bài này: 2621

Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện : $$f(x^2+f ( y) )=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f(x^2+f ( y) )=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

$\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}\ \mathfrak{Math}\ \mathfrak{Tan}\ \mathfrak{k2pi}\ \mathfrak{member}$
CỐ GẮNG VÌ MỘT NGƯỜI ... MỘT NGÀY ! YOU ARE MY LOVE

$\fbox{Trần Duy Tân - Đỗ Thùy Anh}$

Tặng ai đó bài hát này !
https://www.youtube.com/watch?v=nL6ZaFe_1Xc

Tìm tất cả các hàm liên tục $f: R \to R$ thỏa mãn đồng thời:

1, $f$ là đơn ánh

2, $f(2x-f(x))=x$

3, Tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)=x_0$

07-04-2015, 20:51

Sakura Công Chúa

Thành viên Chính thức

Đến từ: Clow Quốc

Nghề nghiệp: Học Sinh

Sở thích: Toán, Anime

Cấp bậc: 4 [ ♥ Bé-Yêu ♥

]
Hoạt động: 0 / 82

Điểm: 10 / 1142

Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 32501

Tham gia ngày: Dec 2014

Bài gửi: 31

Re: Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện : $$f(x^2+f ( y) )=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Nguyên văn bởi Sao Băng Lạnh Giá - Tân

Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f(x^2+f ( y) )=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải trong 1 cuốn sách của thầy Nguyễn Văn Nho

Đặt $f(0)=t$

Cho $x=y=0$ ta có $f(t)=t^2$

Lại có $f(x^2+t)=f^2(x) ; f(f(x))=x+t^2$

Ta tính $f(t^2+f^2(1))$ theo 2 cách.

Trước tiên nhận thấy $f(t^2+f^2(1))=f(f^2(1)+f(t))=t+f^2(f(1))=t+(1+t^2) ^2$

Mà $f(t^2+f^2(1))=1+t+f^2(t)=1+t+t^4$

$\Rightarrow t=0$

$\Rightarrow f(f(x))=x ; f(x^2)=f^2(x)$

Gọi $y \in R$ bất kì, $z=f(y)$ $\Rightarrow y=f(z)$

$f(x^2+y)=z+f^2(x)=f(y)+f^2(x)$

Cho x>0 tùy ý, chọn z sao cho $x=z^2$

$f(x+y)=f(z^2+y)=f(y)+f^2(z)=f(z)+f(y)$

Cho y=-x $\Rightarrow 0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$

Từ đó kéo theo với mọi x,y: $f(x-y)=f(x)-f(y)$

Lấy x bất kì, $y=f(x)$ . Xét

*) y>x. Đặt $z=y-x>0$ : $f(z)=f(y-x)=f(y)-f(x)=x-y=-z$

*) x>y. Đặt z=x-y: $f(z)=f(x-y)=f(x)-f(y)=y-x=-z$

Như vậy ta luôn có với mọi z> thì f(z)=-z<0.

Chọn a sao cho $a^2=z$ :

$f(z)=f(a^2)=f^2(a) < 0$ (vô lí)

Do đó $x=y$ hay $f(x)=x$

Thử lại thỏa mãn.

Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=x$

Các bạn đang xem video trên www.K2pi.Net.Vn

Thích và chia sẻ bài viết này:

« Chủ đề trước | Chủ đề tiếp theo »

Từ khóa

f(x^2 f(y))=y ((f(x))^2\ \ \ \forall x y\in \mathbb{r}

Công cụ bài viết
Hiện bản có thể in Email trang này
Kiểu hiển thị
Xem bài ở dạng cây (Linear) Xem bài ở dạng lai ghép (Hybird) Xem bài viết ở dạng ren (Threaded)

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới Bạn không thể gửi trả lời Bạn không thể gửi file đính kèm Bạn không thể sửa bài viết của mình BB code đang Mở Mặt cười đang Mở [IMG] đang Mở HTML đang Tắt Nội quy diễn đàn

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA (TRẮC NGHIỆM)
SÁCH TOÁN THPT	TÀI LIỆU MÔN TOÁN	Tài liệu trắc nghiệm môn Toán	GIẢI TOÁN ONLINE

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG