Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 30-07-2013, 10:54
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 628
Điểm: 283 / 11010
Kinh nghiệm: 13%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 850
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.463 lần trong 525 bài viết

Lượt xem bài này: 1082
Mặc định Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng
$$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Đặng Thành Nam 
Tuấn Anh Eagles (30-07-2013)
  #2  
Cũ 31-07-2013, 12:43
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 658
Điểm: 315 / 10786
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 265 lần trong 190 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Đặt $$a=2\cos A;b=2\cos B;c=2\cos C$$, A,B,C là các góc của 1 tam giác
Do $${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\cos A\cos B\cos C=1$$
Nên $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc=4\left( {{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C \right)+8\cos A\cos B\cos C=4$$
BĐT trở thành:
$$16-8\cos A\cos B\cos C\ge 8\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)+16\left( {{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}B{{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}C \right)$$
Do $$\cos A\cos B\cos C\le \frac{1}{8}\Rightarrow 16-8\cos A\cos B\cos C\ge 15$$
Vậy ta cần chứng minh $$8\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)+16\left( {{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}B{{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}C \right)\le 15$$
Do ta có $$\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)\le \frac{3}{2};\left( {{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}B{{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A{{\cos }^{2}}C \right)\le \frac{3}{16}$$
Nên có đpcm


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lưỡi Cưa (31-07-2013), Đặng Thành Nam (31-07-2013)
  #3  
Cũ 31-07-2013, 13:02
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 628
Điểm: 283 / 11010
Kinh nghiệm: 13%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 850
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.463 lần trong 525 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Nguyên văn bởi dangnamneu Xem bài viết
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng
$$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$
LỜI GIẢI GỐC

Ý tưởng ra bài toán này của mình như sau
$4 - {a^2} = {b^2} + {c^2} + abc \ge 2bc + abc = bc\left( {a + 2} \right) \Rightarrow 2 - a \ge bc \Rightarrow 4 - 4a + {a^2} \ge {b^2}{c^2}$.
Một cách tương tự ta có
$4 - 4b + {b^2} \ge {c^2}{a^2};4 - 4c + {c^2} \ge {a^2}{b^2}$.
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên suy ra $12 - 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$.
$ \Leftrightarrow 16 - abc \ge {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 4\left( {a + b + c} \right)$.

Bài toán được chứng minh. Như vậy là đã có ba cách chứng minh cho bài toán này


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lưỡi Cưa (31-07-2013), phatthientai (31-07-2013)
  #4  
Cũ 31-07-2013, 13:04
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 658
Điểm: 315 / 10786
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 265 lần trong 190 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Chứng minh rằng $$16 - abc \ge 4\left( {a + b + c} \right) + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}$$

Chúng ta có thể tạo thêm nhiều bài tương tự vậy, bởi vì tất cả mấu chốt đều từ
$${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\cos A\cos B\cos C=1$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  phatthientai 
Đặng Thành Nam (31-07-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$$16, $a, $a2, 4$, 4left, a2b2, abc, âm, b2, b2c2, c$, c$thỏa, c2, c2a2$$, các, chứng, cho, ge, không, mãn, minh, rằng, số, thỏa, thực
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên