Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3b}{a+c}+ \frac{b^3c}{b+a}+ \frac{c^3a}{c+b} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 11-01-2013, 22:59
Avatar của Sangham_BM
Sangham_BM Sangham_BM đang ẩn
Thành viên Vip
Đến từ: Y.Thành, Nghệ An
Nghề nghiệp: K sĩ
Sở thích: Calisthenics
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 212
Điểm: 36 / 3832
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 825
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 110
Đã cảm ơn : 23
Được cảm ơn 274 lần trong 81 bài viết

Lượt xem bài này: 1598
Mặc định Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3b}{a+c}+ \frac{b^3c}{b+a}+ \frac{c^3a}{c+b} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3b}{a+c}+ \dfrac{b^3c}{b+a}+ \dfrac{c^3a}{c+b} \geq \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}.$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (12-01-2013), hbtoanag (11-01-2013), Hiệp sỹ bóng đêm (13-01-2013), Huy Vinh (02-01-2014)
  #2  
Cũ 17-11-2013, 20:09
Avatar của doxuantung97
doxuantung97 doxuantung97 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Toán 1-K46 Chuyên SP
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Inequalities
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 37
Điểm: 4 / 627
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 7365
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 14
Đã cảm ơn : 3
Được cảm ơn 19 lần trong 11 bài viết

Mặc định Re: Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3b}{a+c}+ \frac{b^3c}{b+a}+ \frac{c^3a}{c+b} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$

Nguyên văn bởi Sangham_BM Xem bài viết
Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3b}{a+c}+ \dfrac{b^3c}{b+a}+ \dfrac{c^3a}{c+b} \geq \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}.$$

Do $abc=1$ nên tồn tại các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn:
$$a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$$
Thay vào,ta có BĐT đã cho tương đương với:
$$\sum \frac{x^5}{x^2+yz} \geq \frac{\sqrt{3(x^4z^2+y^4x^2+z^4y^2)}}{2}$$
Ta có:
$$\sum \frac{x^5}{x^2+yz}=\sum \frac{x^6}{x^3+xyz}$$
$$\geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{\sum x^3+3xyz} \geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{2\sum x^3}$$
$$=\frac{x^3+y^3+z^3}{2}$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\sum x^3 \geq \sqrt{3(x^4z^2+y^4x^2+z^4y^2)}$$
$$\Leftrightarrow \sum x^6+ 2\sum x^3y^3 \geq 3(x^4z^2+y^4x^2+z^4y^2)$$
Ta có:
$$\sum x^6+ 2\sum x^3y^3 =\sum(x^6+x^3z^3+x^3z^3) \geq 3\sum x^4z^2$$
Theo BĐT $AM-GM$.
Vậy BĐT đã cho được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$. $\blacksquare$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (02-01-2014), Miền cát trắng (17-11-2013), N H Tu prince (17-11-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$a, $abc1$, $fraca3ba, >, 0$, b2, c22$, chứng, cho, fracb3cb, fracc3ac, fracsqrt3a2, geq, minh, rằng,
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên