Tính tích phân:$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{\ln x}{x^2+1+x\sqrt {x^2+2}}dx $

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Giải tích luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải bài tập Tích phân


 
Công cụ bài viết Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 20-07-2013, 20:24
Avatar của Mai Tuấn Long
Mai Tuấn Long Mai Tuấn Long đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Mỹ Đức- HN
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 651
Điểm: 307 / 12590
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 2893
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 922

Lượt xem bài này: 2327
Mặc định Tính tích phân:$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{\ln x}{x^2+1+x\sqrt {x^2+2}}dx $

Tính tích phân:
$$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{\ln x}{x^2+1+x\sqrt{x^2+2}}dx $$

P/s: Bài toán được siêu tầm .


Để gió cuốn đi


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 20-07-2013, 22:09
Avatar của hiếuctb
hiếuctb hiếuctb đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: THPT_Chuyên TB
Nghề nghiệp: hs
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 442
Điểm: 134 / 8397
Kinh nghiệm: 70%

Thành viên thứ: 4734
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 404

Mặc định

Nguyên văn bởi Mai Tuấn Long Xem bài viết
Tính tích phân:
$$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{lnx}{x^2+1+x\sqrt {x^2+2}}dx $$

P/s: Bài toán được siêu tầm .
Ta có $$I=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{\frac{\frac{lnx}{x^ {2}+1}dx}{1+\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+1}.\frac{x^{2 }+2}{x^{2}+1}}}}=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{\frac{ \frac{lnx}{x^{2}+1}}{\frac{1}{\left(x^{2}+1 \right)^{2}}}}\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{\left(x^{2} +1\right)^{2}}} \right)dx=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{\left(x^{2}+1 \right)}lnx.dx-\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{x\sqrt{x^{2}+2}}.lnx.dx $$
Lại có $J=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{x\sqrt{x^{2}+2}.lnx. dx}=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{lnx.d\left(\frac{\s qrt{\left(x^{2}+2 \right)^{3}}}{3} \right)}=\alpha-\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{\left(x^{2} +2 \right)^{3}}}{3x}}dx=\alpha -K $
K=$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{\left(x^ {2}+2 \right)^{3}}}{3x}}dx=\frac{\sqrt{\left(x^{2}+2 \right)^{3}}}{6x^{2}}d\left(x^{2}+2 \right)$
Đặt $\sqrt{x^{2}+2}=t \Rightarrow K=\int_{2}^{2\sqrt{2}}{\frac{t^{4}}{3\left(t^{2}-2 \right)}}dt=\frac{1}{3}\int_{2}^{2\sqrt{2}}{\left( t^{2}+2+\frac{4}{t^{2}-2} \right)}dt$
Mệt quá


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 21-07-2013, 17:40
Avatar của Mai Tuấn Long
Mai Tuấn Long Mai Tuấn Long đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Mỹ Đức- HN
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 651
Điểm: 307 / 12590
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 2893
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 922

Mặc định

Bài này được bắt nguồn từ một bài toán của thầy Phan tuấn Khải, giải bải này quả là " "
Không biết lời giải của thầy khải sao nhưng tôi cung xin đưa ra lời giải của mình và cũng mong mọi người đóng góp những lời giải hay cho bài toán.

$I=2\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{ lnx}{(x+\sqrt{x^2+2})^2}dx$ $=\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{(x +\sqrt{x^2+2})lnx}{\sqrt{x^2+2}(x+\sqrt{x^2+2})^2} dx+\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{( \sqrt{x^2+2}-x)lnx}{\sqrt{x^2+2}(x+\sqrt{x^2+2})^2}dx$

$=-\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}lnx.d\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+2}} \right)+$ $2.\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{l nx}{\sqrt{x^2+2}(x+\sqrt{x^2+2})^3}dx$

$=-\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}lnx.d\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+2}} \right)$ $-2.\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}$ $lnx.d\left(\dfrac{1}{(x+\sqrt{x^2+2})^2}\right) $

$=\left[-\dfrac{lnx}{x+\sqrt{x^2+2}}-\dfrac{2.lnx}{(x+\sqrt{x^2+2})^2} \right]|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}$ $+\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}$ $\dfrac{1}{x(x+\sqrt{x^2+2})}dx+$ $2\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}$ $\dfrac{1}{x(x+\sqrt{x^2+2})^2}dx$

$=\left[-\dfrac{lnx}{x+\sqrt{x^2+2}}-\dfrac{2.lnx}{(x+\sqrt{x^2+2})^2} \right]|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}+$ $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6 }}$ $(\dfrac{\sqrt{x^2+2}}{x}-1)dx+$ $\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}(x+\dfrac{ 1}{x})dx-\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\sqrt{x^2+2 }dx$

Các tích phân còn lại đơn giản rồi !


Để gió cuốn đi


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 21-07-2013, 18:01
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 628
Điểm: 283 / 12433
Kinh nghiệm: 13%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 850

Mặc định

Nguyên văn bởi Mai Tuấn Long Xem bài viết
Tính tích phân:
$$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{lnx}{x^2+1+x\sqrt {x^2+2}}dx $$

P/s: Bài toán được siêu tầm .
Bài toán này nhìn đẹp mắt và việc giải quyết nó cũng không khó khăn lắm, nhưng với thi đại học thì hơi nặng với các em

Chỉ cần để ý ${\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)^2} = 1$suy ra \[I = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)\ln xdx} \].
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \int {\left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x - \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right)
\end{array} \right.$.
Suy ra $I = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x - \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right).\ln x\left| \begin{array}{l}
\sqrt 6 \\
\sqrt 2
\end{array} \right. - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\left( {\frac{{{x^2}}}{3} + 1 - \frac{{{x^2} + 2}}{{3x}}.\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx} $.
Ta chỉ cần chú ý tích phân \[\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\frac{{{x^2} + 2}}{{3x}}.\sqrt {{x^2} + 2} dx} \], bằng phép đặt $t = \sqrt {{x^2} + 2} $là xong.


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Từ khóa
$, 1, 2dx, intsqrt2sqrt6dfraclnxx2, phân$, tích, tính, x2, xsqrt, xsqrtx2
Công cụ bài viết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên