Nguyên văn bởi catbuilata

Bài toán trên mình trích trong đề thi thử của một trường.
Có lẽ đề ra bị nhầm vì không tồn tại n.Thật vậy:
$P(x) = \left( {x + 1} \right)^{n + 1} \left( {x^2 + x + 1} \right)^n = \left( {x + 1} \right)^{n + 1} \left[ {x\left( {x + 1} \right) + 1} \right]^n = \left( {x + 1} \right)^{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k x^k \left( {x + 1} \right)^k = } \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k x^k \left( {x + 1} \right)^{n + k + 1} } $
Để tồn tại hệ số của $x^{10}$ thì $n \ge 3$
Trường hợp 1: $n \ge 6$, cho k=2 thì trong P(x) chứa $C_n^2 x^2 C_{n + 3}^8 x^8 = C_n^2 C_{n + 3}^8 x^{10} $
Nhận thấy $C_n^2 C_{n + 3}^8 \ge C_n^2= \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} > 10\,\forall \,\,n \ge 6$.
Do đó không tồn tại n thỏa ycbt trong trường hợp này.
Trường hợp 2: n=5, cho k=3 thì trong P(x) chứa $C_5^3 x^3 C_9^7 x^7 = C_5^3 C_9^7 x^{10} $. Vì $C_5^3 C_9^7 >10$ nên không tồn tại n thỏa ycbt trong trường hợp này.
Trường hợp 3: n=4, cho k=3 và lý luận tương tự
Trường hợp 4: n=3 dễ thấy rằng hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ bằng 1.
Từ các trường hợp đã xét suy ra không có n thỏa YCBT.