Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Cho tam giác ABC ... $cotA+cotB+cotC+3cotAcotBcotC=4(2-\sqrt{2})$. Tính các góc
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 04-10-2014, 08:12
Avatar của Shirunai Okami
Shirunai Okami Shirunai Okami đang ẩn
$\Huge\mathfrak{POPEYE}$
Đến từ: HNUE
Nghề nghiệp: Tháo Giầy
Sở thích: Shingeki no Kyojin
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 510
Điểm: 180 / 7028
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 15713
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 541
Đã cảm ơn : 336
Được cảm ơn 906 lần trong 296 bài viết

Mặc định Re: Cho tam giác ABC ... $cotA+cotB+cotC+3cotAcotBcotC=4(2-\sqrt{2})$. Tính các góc

Nguyên văn bởi satthuhaohoa Xem bài viết
Cho tam giác $ABC$ không có góc tù và mỗi góc không nhỏ hơn $\frac{\pi }{4}$
Các góc thoả mãn $\cot A+\cot B+\cot C+3\cot A\cot B\cot C=4(2-\sqrt{2})$.
Tính các góc
Ta chứng minh vế trái nhỏ hơn bằng vế phải
Giả sử $A=\min\{A,B,C\}$, thế thì $\dfrac{\pi}{4}\le A\le \dfrac{\pi}{3}$
Ta luôn có
$$\sum \cot A\cot B=1\iff \cot B\cot C=1-\cot A(\cot B+\cot C)\iff 3\cot A\cot B\cot C=3\cot A-3\cot^2 A(\cot B+\cot C)$$
Vậy vế trái thành
$$S=4\cot A+(1-3\cot ^2A)(\cot B+\cot C)$$
Dễ thấy $\cot B+\cot C\ge 2\cot \dfrac{B+C}{2}=2\tan \dfrac{A}{2}$ và vì $A\le \dfrac{\pi}{3}$ nên $1-3\cot ^2A\le 0$
Như vậy
$$S\le 4\cot A+2\tan \dfrac{A}{2}(1-3\cot^2 A)=\dfrac{4-3(1-x)^2}{2x}$$ Với $x=\tan \dfrac{A}{2}$ và $\sqrt{2}-1\le x\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Vì $f(x)=\dfrac{4-3(1-x)^2}{2x}$ là giảm nên ta có
$$f(x)\le f(\sqrt{2}-1)=4(2-\sqrt{2})$$
Đẳng thức xảy ra khi tam giác $ABC$ cân và có góc ở đỉnh bằng $45^o$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Shirunai Okami 
lazyman (04-10-2014)