Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - [TOPIC] Các Bài Toán Trong Tam Giác
Xem bài viết riêng lẻ
  #15  
Cũ 02-02-2015, 14:43
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Software Engineering
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 811
Điểm: 515 / 10255
Kinh nghiệm: 44%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.547
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.246 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Nguyên văn bởi Nôbita Xem bài viết
Bài 6: Cho $\Delta ABC$ thỏa $(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)=\cos A\cos B\cos C$. Nhận dạng $\Delta ABC$.
Dễ thấy $(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) >0 \Rightarrow \cos A.\cos B .\cos C>0 \Rightarrow \Delta ABC$ nhọn.
Khi đó giả thiết bài toán tương đương với:
$$\frac{1-\cos A}{\cos A}.\frac{1-\cos B}{\cos B}.\frac{1-\cos C}{\cos C} =1\\ \Leftrightarrow \frac{2\tan^2 \dfrac{A}{2}}{1-\tan^2 \dfrac{A}{2}}.\frac{2\tan^2 \dfrac{B}{2}}{1-\tan^2 \dfrac{B}{2}}.\frac{2\tan^2 \dfrac{C}{2}}{1-\tan^2 \dfrac{C}{2}}=1\\ \Leftrightarrow \tan A.\tan B.\tan C=\cot \frac{A}{2}.\cot \frac{B}{2}.\cot \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \tan A+\tan B+\tan C=\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}~~~~(*)$$
Ta có:
$$\tan A+\tan B=\frac{2\sin C}{\cos (A-B)-\cos C} \ge \frac{2\sin C}{1-\cos C}=2 \cot\frac{C}{2}\\ \Rightarrow \tan A+\tan B \ge 2\cot \frac{C}{2}~~~~~~(1)$$
Tương tự:
$$\tan B+\tan C \ge 2\cot \frac{A}{2}~~~~~~(2)\\ \tan C+\tan A \ge 2\cot \frac{B}{2}~~~~~~(3)$$
Cộng vế theo vế $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ta được:
$$\tan A+\tan B+\tan C \ge \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}$$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\frac{\pi}{3}$.
Vậy suy ra:

$(*)\Leftrightarrow A=B=C=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \Delta ABC$ đều

Vậy $\Delta ABC $ đều.


Nguyễn Minh Đức - ĐH FPT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Quân Sư 
Kalezim17 (02-02-2015)