Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - [TOPIC] Các Bài Toán Trong Tam Giác
Xem bài viết riêng lẻ
  #13  
Cũ 10-01-2015, 22:31
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Software Engineering
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 811
Điểm: 515 / 10235
Kinh nghiệm: 44%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.547
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.246 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Nguyên văn bởi Sao Băng Lạnh Giá - Tân Xem bài viết
Bài 11 : ( Nó cũng nằm trong chuyên đề nhận dạng tam giác)
Chứng minh các trung tuyến $AA_1 , BB_1$ của tam giác $ABC$ vuông góc với nhau khi: $\cot{C} = 2 (\cot{A} + \cot{B})$

Đặt: $\left\{\begin{matrix}
AB=c\\BC=a\\CA=b

\end{matrix}\right.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.Khi đó ta suy ra:
$$\left\{\begin{matrix}
AG^2=\dfrac{4}{9}A_1A^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{9}\\ BG^2=\dfrac{4}{9}B_1B^2=\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{9}

\end{matrix}\right.$$
Hai đường trung truyến $AA_1$ và $BB_1$ vuông góc khi:
$$AB^2=AG^2+BG^2\\ \Rightarrow c^2=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{9}+\dfrac{2(a^2+c^2)-b^2}{9}\\ \Leftrightarrow 5c^2=a^2+b^2\\ \Leftrightarrow 2c^2=ab\cos C\\ \Leftrightarrow 2\left(2R\sin C \right)^2=2R\sin A.2R\sin B.\cos C\\ \Leftrightarrow \frac{2\sin C}{\sin A.\sin B}=\frac{\cos C}{\sin C}\\ \Leftrightarrow \frac{2\left(\sin A \cos B+\cos A \sin B \right)}{\sin A \sin B}=\frac{\cos C }{\sin C}\\ \Leftrightarrow 2\left(\cot A+\cot B \right)=\cot C$$.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.


Nguyễn Minh Đức - ĐH FPT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Quân Sư 
Sakura - My Love (11-01-2015)