TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Tìm tất cả các cặp số $(x; \ y)$ không âm thỏa mãn hệ:$\begin{cases}(2x+\sqrt{4x^2+1})(\sqrt{y^2 +1}-y)=1\\ \dfrac{1}{1+3^x}+\dfrac{1}{1+2^y}+\dfrac{1}{1+5^x} =\dfrac{3}{1+4^x}\end{cases}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 29-10-2012, 17:00
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 531
Điểm: 196 / 9446
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 589
Đã cảm ơn : 384
Được cảm ơn 1.760 lần trong 475 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi kienqb Xem bài viết
Tìm tất cả các cặp số $(x; \ y)$ không âm thỏa mãn hệ:$$\begin{cases}(2x+\sqrt{4x^2+1})(\sqrt{y^2+1 }-y)=1\\ \dfrac{1}{1+3^x}+\dfrac{1}{1+2^y}+\dfrac{1}{1+5^x} =\dfrac{3}{1+4^x}\end{cases}$$
Bài toán này co phố quen giải như thế này. Trước tiên ta cần để ý rằng :$$\sqrt{y^2+1}-y \ne 0 ; \ \left(\sqrt{y^2+1}-y \right)\left(\sqrt{y^2+1}+y \right)=1$$ Tiếp đến là một bất thức quen thuộc được dùng trong bài toán này như một bổ đề :$$\dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b} +\dfrac{1}{1+c} \ge \dfrac{3}{1 +\sqrt[3]{abc}} \ \mbox{với} \ a,b,c \ge 1$$ Với đánh giá thứ nhất ta đưa phương trình thứ nhất trong hệ về phương trình :$$2x +\sqrt{4x^2+1}=y+\sqrt{y^2+1}$$ Tới đây xét hàm số $f(t)=t + \sqrt{t^2+1}, \forall t \ge 0$. Ta có $f'(t) = 1 +\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} >0 , \forall t \ge 0.$
Từ đó ta có :$f(2x)=f(y) \Leftrightarrow y=2x.$ Với kết quả này cùng với đánh giá thử hai tức là bổ đề nêu ra ta có :$$\dfrac{1}{1+3^x} + \dfrac{1}{1+4^x} + \dfrac{1}{1+5^x} \ge \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{60^x}} \ge \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{64^x}}$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=0 \blacksquare$


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (28-02-2013), haituatcm (24-06-2016), hiếuctb (17-06-2013), kienqb (29-10-2012), Miền cát trắng (01-11-2012), Phạm Kim Chung (29-10-2012), quocluxury_ht (01-01-2013)