TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Topic về bất đẳng thức hiện đại
Xem bài viết riêng lẻ
  #7  
Cũ 29-12-2013, 15:08
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 690
Điểm: 351 / 14700
Kinh nghiệm: 63%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.055
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.514 lần trong 605 bài viết

Mặc định Re: Topic về bất đẳng thức hiện đại

Nguyên văn bởi ma29 Xem bài viết
Bài 5: Cho các số thực không âm $a,b,c $. Chứng minh rằng :
$$\left(ab+bc+ca \right)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+ \frac{1}{(c+a)^2} \right)\geq \frac{9}{4}$$
Đây chính là bất đẳng thức I ran 96 nổi tiếng.
Có nhiều cách giải cho bài toán này.
Cách 1: SOS:
Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$.
Ta cần chứng minh :

$$\Leftrightarrow (2\sum ab - \sum a^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}) \geq \frac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2})(b-c)^2+(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2})(c-a)^2+(\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2})(a-b)^2 \geq 0$$

$$\Leftrightarrow S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \geq 0$$

Giải sử $a\geq b \geq c \Rightarrow S_a \geq 0$. Sử dụng tiêu chuẩn 4 của S.O.S ta chỉ cần CM : $b^2S_b+c^2S_c \geq 0 \Leftrightarrow b^3+c^3 \geq abc$.

Không khó thấy rằng điều trên hiển nhiên đúng.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn