TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Bài toán khó: Cho tam giác ABC co hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng PH vuông góc với AM.
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 08-02-2018, 23:46
Avatar của mtri170603
mtri170603 mtri170603 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 0
Điểm: 0 / 0
Kinh nghiệm: 0%

Thành viên thứ: 61618
 
Tham gia ngày: Feb 2018
Bài gửi: 1
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Mặc định Re: Bài toán khó: Cho tam giác ABC co hai đường cao BE và CF



Tứ giác AEHF có góc AFH + AEH = 90 + 90 = 180 độ nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Cho tia PH cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF tại K.

Phần 1: Chứng minh K là giao điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF và tam giác BHC

Tứ giác EFHK nội tiếp nên góc IHF=IEK (góc ngoài bằng góc đối trong)

=> Tam giác PFH và PKE đồng dạng vì cũng có góc EIK chung.

=> PF/PK=PH/PE hay PF.PE=PH.PK

Tứ giác BCEF có góc BFC=BEC=90 độ nên BCEF nội tiếp

=> Tam giác PBF và PEC đồng dạng vì góc EPC chung, góc PBF=PEC (góc ngoài bằng góc đối trong)

=> PB/PE=PF/PC hay PF.PE=PB.PC

Kết hợp hai đẳng thức trên suy ra PB.PC=PH.PK hay PB/PK=PH/PC, mà góc KPC chung

=> Tam giác PBH và PKC đồng dạng

=> Góc PBH=PKC, mà góc PBH là góc đối ngoài của góc PKC trong tứ giác BHKC

=> Tứ giác BHKC nội tiếp, kết hợp cách lấy điểm K

=> K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp AEHF và BHC khác H.

Phần 2: Chứng minh A, K, M thẳng hàng

Cho tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại G.

Từ cách vẽ và cmt phần 1, ta có tứ giác AEKH, HKGB nội tiếp

=> Góc EHK=EAK và EHK=KGB (góc ngoài bằng góc đối trong)

=> Góc EAK=KGB => AC//GB.

Từ cách vẽ và phần 1, cũng có tứ giác HKCG, AKHF nội tiếp

=> Góc CHK=CGK và CHK=FAK (tuơng tự)

=> Góc CGK=FAK => AB//CG.

AC//GB và AB//CG => ABGC là hình bình hành, mà M là trung điểm BC

=> M là trung điểm AG, mà theo cách vẽ A, K, G thẳng hàng

=> A, K, M thẳng hàng và P, H, K thẳng hàng (cách vẽ)

5 điểm A, E, H, F, K cùng thuộc một đường tròn đường kính AH (cách vẽ và cmt) => Tam giác AKH vuông tại K

=> AK vuông góc với KH, kết hợp cmt

=> PH vuông góc với AM.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn