TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Tìm GTNN của biểu thức P=$\frac{32}{\left(a-b \right)^{4}}+\frac{1}{\left(b-c \right)^{4}}+\frac{1}{\left(c-a \right)^{4}}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 20-01-2015, 23:49
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 10061
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của biểu thức P=$\frac{32}{\left(a-b \right)^{4}}+\frac{1}{\left(b-c \right)^{4}}+\frac{1}{\left(c-a \right)^{4}}$

Nguyên văn bởi hoangmanhhkt Xem bài viết
Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn các điều kiện a>b>c và 3ab+5bc+7ca$\leq $ 9
Tìm GTNN của P=$\frac{32}{\left(a-b \right)^{4}}+\frac{1}{\left(b-c \right)^{4}}+\frac{1}{\left(c-a \right)^{4}}$

P/s: đề thi HSG Nghệ an 2013
Từ giả thiết chúng ta có :

$3ab \leq 3ab + 5bc + 7ca \leq 9 \Leftrightarrow ab \leq 3$ và $\begin{cases} 0 < a - c \leq a \Rightarrow \left(a - c \right)^4 \leq a^4 \\ 0 < b - c \leq b \Rightarrow \left(b - c \right)^4 \leq b^4 \end{cases}$

Do vậy :

$9P \geq a^{2}b^{2}\left(\frac{32}{\left(a - b \right)^4} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4} \right) \geq \frac{32}{\left(t - 2 \right)^2} + t^2 - 2$

Đến đây xét hàm số $f\left(t \right) = t^2 + \frac{32}{\left(t - 2 \right)^2} - 2 $ với $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{22}{9}$. Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \left(a , b , c \right) = \left(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} ; \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} ; 0 \right)$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Neverland (24-01-2015), hoangmanhhkt (21-01-2015)