Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=\frac{1}{2}$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{ab}{(1-a)(1-b)}+\frac{bc}{(1-b)(1-c)}+\frac{ca}{(1-c)(1-a)}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 11-02-2014, 03:04
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 5347
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nguyên văn bởi vung kute Xem bài viết
Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=\frac{1}{2}$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{ab}{(1-a)(1-b)}+\frac{bc}{(1-b)(1-c)}+\frac{ca}{(1-c)(1-a)}$
Ta có: \[P = \frac{{ab}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {1 - c} \right)\left( {1 - a} \right)}} = \frac{{ab\left( {1 - c} \right) + bc\left( {1 - a} \right) + ca\left( {1 - b} \right)}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}\]
\[ = \frac{{ab + bc + ca - 3abc}}{{\frac{1}{2} + ab + bc + ca - abc}} = \frac{{2(q - 3r)}}{{1 + 2q - 2r}}\]
Trong đó: $q=ab+bc+ca$ và $r=abc$
Ta có: \[r \ge Max\left\{ {0;\frac{{16q - 1}}{{72}}} \right\}\]
Xét hàm số: \[f(r) = \frac{{2(q - 3r)}}{{1 + 2q - 2r}}\]
Có: $f'(r)<0$ nên \[f(r) \le Max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\frac{{16q - 1}}{{72}}} \right)} \right\}\]
* TH 1: Với $q< \dfrac{1}{16}$ thì $Max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\frac{{16q - 1}}{{72}}} \right)} \right\}=f(0)$
Khi đó, \[P \le \frac{{2q}}{{2q + 1}}\]
Do $g(q)=\frac{{2q}}{{2q + 1}}$ là hàm đồng biến nên $g(q) \le g\left(\dfrac{1}{16}\right)=\dfrac{1}{9}$
Suy ra $P \le \dfrac{1}{9}$
*TH 2: Với $q \in \left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{3}} \right]$ thì $P \le f\left( {\frac{{16q - 1}}{{72}}} \right) = \frac{{24q + 3}}{{56q + 37}}$
Hàm số: $h(q)= \frac{{24q + 3}}{{56q + 37}}$ là hàm đồng biến nên $h\left( q \right) \le h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{3}{{25}}$
Từ 2 TH ta suy ra $P \le \dfrac{3}{25}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{6}$


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Ngọc Anh 
Em yêu Chị (11-02-2014)