Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Chứng minh rằng : $\dfrac{a}{b^2+5}+ \dfrac{b}{c^2+5} + \dfrac{c}{a^2+5} \le \dfrac 12$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 24-04-2013, 00:12
Avatar của Lạnh Như Băng
Lạnh Như Băng Lạnh Như Băng đang ẩn
NEVER GIVE UP !
Đến từ: Hà Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: G-Dragon
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 541
Điểm: 204 / 8717
Kinh nghiệm: 65%

Thành viên thứ: 1966
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 613
Đã cảm ơn : 1.186
Được cảm ơn 813 lần trong 360 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi harrypham Xem bài viết
Cho $a,b,c>0$ và $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a}{b^2+5}+ \dfrac{b}{c^2+5} + \dfrac{c}{a^2+5} \le \dfrac 12$$
Áp dụng AM-GM ta có:$$\frac{a}{{b}^{2}+5}\leq \frac{a}{2b+4}$$ Do đó ta chỉ cần chứng minh $$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq1$$ $\Leftrightarrow a{b}^{2}+b{c}^{2}+c{a}^{2}\leq 2+abc$
Giả sử rằng $ b$ nằm giữa $a$ và $c$: $\Rightarrow a\left(b-a \right)\left(b-c \right)\leq 0\Leftrightarrow{a}^{2}b+abc\geq a{b}^{2}+c{a}^{2} $
Do đó chỉ cần chứng minh $${a}^{2}b+{c}^{2}b\leq2$$

Từ giả thiết có ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\leq 3$ nên ${a}^{2}b+{c}^{2}b\leq b\left(3-{b}^{2} \right)\leq 2\Leftrightarrow {\left(b-1 \right)}^{2}\left(b+2 \right)\geq 0$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Không ngừng thách thức !


Bế quan tu luyện


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lạnh Như Băng 
hiếuctb (24-04-2013)