TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Chứng minh rằng $P(2013) \geq 2014^n$.
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 28-08-2013, 23:00
Avatar của xuankhoa
xuankhoa xuankhoa đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 18
Điểm: 2 / 304
Kinh nghiệm: 73%

Thành viên thứ: 7268
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 8
Đã cảm ơn : 2
Được cảm ơn 6 lần trong 5 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh rằng $P(2013) \geq 2014^n$.

Nguyên văn bởi Mạo Hỡi Xem bài viết
Cho đa thức $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ với các hệ số $a_1; a_2;,,,a_{n-1}$ là ácc số thực không âm và đa thức có n nghiệm thực.
Chứng minh rằng $P(2013) \geq 2014^n$.
Lời giải: Do các hệ số của đa thức đều không âm và có đầy đủ $n$ nghiệm nên $n$ nghiệm này phải âm. Gọi $x_1,x_2,....,x_n$ là các số dương và các số đối của nó đều là nghiệm của đa thức $P(x)=0$. Khi đó
$$P(x)=(x+x_1)(x+x_2)....(x+x_n)$$
Theo Viet ta có $x_1.x_2....x_n=1$ và
$$(x+x_1)(x+x_2)....(x+x_n)\geq (x+\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})^n=(x+1)^n,\forall x>0$$
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
angel (28-08-2013), N H Tu prince (28-08-2013)