TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Ứng dụng của số phức chứng minh lượng giác
Xem bài viết riêng lẻ
  #1  
Cũ 11-07-2014, 18:55
Avatar của congson215
congson215 congson215 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thừa Thiên Huế
Nghề nghiệp: HS-THPT chuyên QHH
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 96
Điểm: 12 / 1211
Kinh nghiệm: 85%

Thành viên thứ: 27513
 
Tham gia ngày: Jul 2014
Bài gửi: 37
Đã cảm ơn : 5
Được cảm ơn 69 lần trong 21 bài viết

Lượt xem bài này: 1244
Mặc định Ứng dụng của số phức chứng minh lượng giác

Tính tổng: tan$\alpha +sin\beta $
Ví dụ: tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$=$\sqrt{11}$

Ta có: $e^{i\alpha }=cos\alpha +isin\alpha $
$e^{-i\alpha }=cos\alpha -isin\alpha $
Thì: 2cos$\alpha =e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }$
2isin$\alpha =e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }$
Áp dụng:
đặt $e^{\frac{2i\pi }{11}}=x$
Ta có: $4isin\frac{2\pi }{11}=2.(e^{\frac{2\pi i}{11}}-e^{\frac{-2\pi i}{11}})$
$=2(x-e^{\frac{20\pi i}{11}})=2(x-x^{10})$
và ta có $itan\alpha=\frac{e^{2\alpha }-1}{e^{2\alpha }+1} $
cho nên i$tan\frac{3\pi }{11}=\frac{e^{\frac{6\pi i}{11}}-1}{e^{\frac{6\pi i}{11}}+1}=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$
Mặt khác: 1=$e^{\frac{66\pi i}{11}}$=$x^{33}$
Cho nên: i$tan\frac{3\pi }{11}=\frac{x^{3}-x^{33}}{x^{3}+1}$=$x^{3}(1-x^{3})(1+x^{6}+x^{12}+x^{18}+x^{24}
)$=
$=x^{3}+x^{9}+x^{15}+x^{21}+x^{27}-x^{6}-x^{12}-x^{18}-x^{24}-x^{30}$
=$x^{3}+x^{9}+x^{4}+x^{10}+x^{5}-x^{6}-x-x^{7}-x^{2}-x^{8}$
thì i(tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$)=$x^{3}+x^{9}+x^{4}+x^{10}+x^{5}$-($x^{6}+x+x^{7}+x^{2}+x^{8})$
Đặt: S=$x^{3}+x^{9}+x^{4}+x^{10}+x^{5}$
P=$x^{6}+x+x^{7}+x^{2}+x^{8}$=$x^{-3}+x^{-9}+x^{-4}+x^{-10}+x^{-5}$
thì 1+S+P=$\frac{x^{11}-1}{x-1}$=0$\Leftrightarrow $S+P=-1
S.P=5+2(S+P)=3
$\Rightarrow $S-P=i$\sqrt{11}$
cho nên i(tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$)=i((S-P)=i$\sqrt{11}$
tan$\frac{3\pi }{11}$+4sin$\frac{2\pi }{11}$=$\sqrt{11}$

Tương tự: một số bài toán áp dụng:
1: $tan\frac{4\pi }{11}+4sin\frac{\pi }{11}=\sqrt{11}$
2: $tan\frac{\pi }{9}+4sin\frac{\pi }{9}=\sqrt{3}$
3: $tan\frac{\pi }{7}-4sin\frac{2\pi }{7}=-\sqrt{7}$
(ý tưởng của Kee-wai Lan và Bob Prielipp)


Trường THPT chuyên Quốc Học Huế


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn