Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Cho các số thức dương thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}\frac{1}{c^2+2}=1$ . Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 25-09-2013, 12:28
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 69 / 690
Điểm: 351 / 11073
Kinh nghiệm: 63%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.055
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.514 lần trong 605 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thức dương thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}=1 $ . Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$

Nguyên văn bởi suddenly.nb1 Xem bài viết
Cho các số thức dương thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}=1 $. Chứng minh rằng:

$ab+bc+ca\leq 3$
Bài làm:
Rõ ràng bài toán tương đương với
$$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+ 2}=2$$. Chứng minh rằng:
$$ab+bc+ca\leq \dfrac{3}{2}.$$
Theo trên ta có:
$$1 = \sum \left(1-\dfrac{1}{a^2+1} \right)= \sum \dfrac{a}{a^2+1}.$$
Theo C-S:
$$\sum \dfrac{a^2}{a^2+1} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}.$$
Từ đó ta có:
$$a^2+b^2+c^2+3 \geq (a+b+c)^2 \rightarrow ab+bc+ca \leq 3.$$
Ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
suddenly.nb1 (25-09-2013), SuperFieldsk2pi (07-10-2015)