TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{ \sqrt{x}}+\frac{3}{xy+yz+zx}-2\sqrt{x+y+z}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 18-05-2015, 10:20
Avatar của hbtoanag
hbtoanag hbtoanag đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Long Kiến, An Giang
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 16 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 376
Điểm: 98 / 6413
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 2166
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 295
Đã cảm ơn : 649
Được cảm ơn 811 lần trong 261 bài viết

Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{ \sqrt{x}}+\frac{3}{xy+yz+zx}-2\sqrt{x+y+z}$

Nguyên văn bởi 01635393023 Xem bài viết
Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{ \sqrt{x}}+\frac{3}{xy+yz+zx}-2\sqrt{x+y+z}$
Đặt $t=x+y+z$, ta có $3={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge \frac{{{t}^{2}}}{3}$ nên $t\le 3$.
Ta biến đổi $P$ như sau
$P\ge \frac{2x}{y+1}+\frac{2y}{z+1}+\frac{2z}{x+1}+\frac {9}{{{(x+y+z)}^{2}}}-2\sqrt{x+y+z}$
$\ge 2\frac{{{(x+y+z)}^{2}}}{xy+yz+zx+x+y+z}+\frac{9}{{ {(x+y+z)}^{2}}}-2\sqrt{x+y+z}$
$\ge 2\frac{3{{(x+y+z)}^{2}}}{{{(x+y+z)}^{2}}+3(x+y+z)} +\frac{9}{{{(x+y+z)}^{2}}}-2\sqrt{x+y+z}$
$=\frac{6t}{t+3}+\frac{9}{{{t}^{2}}}-2\sqrt{t}=f(t)$.
Ta có ${f}'(t)=\frac{18}{{{(t+3)}^{2}}}-\frac{18}{{{t}^{3}}}-\frac{1}{\sqrt{t}}<0\forall t\in (0;3]$.
Do đó $P\ge f(3)=4-2\sqrt{3}$.
Vậy $\min P=4-2\sqrt{3}$ khi $x=y=z=1$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hbtoanag 
01635393023 (18-05-2015)