Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{4}+4x^{2}+y^{2}-4y=2 & & \\ x^{2}y+2x^{2}+6y=23 & & \end{matrix}\right.$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 28-02-2014, 23:02
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 9722
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{4}+4x^{2}+y^{2}-4y=2 & & \\ x^{2}y+2x^{2}+6y=23 & & \end{matrix}\right.$

Nguyên văn bởi hientae_sone Xem bài viết
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^{4}+4x^{2}+y^{2}-4y=2
& & \\ x^{2}y+2x^{2}+6y=23
& &
\end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải


$\bullet $ Đặt $t = x^2$ khi đó hệ đã cho trở thành : $\left\{\begin{matrix} t^2 + 4t + y^2 - 4y = 2 & \\ ty + 2t + 6y = 23 & \end{matrix}\right.$


$\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{matrix} \left(t + 2 \right)^{2} + \left(y - 2 \right)^{2} = 10 & \\ \left(t + 2 \right)y + 2t + 4y = 23 & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{matrix} \left(t + 2 \right)^{2} + \left(y - 2 \right)^{2} = 10 & \\ \left(t + 2 \right)\left(y - 2 \right) + 4\left(t + 2 \right) + 4\left(y - 2 \right) = 19. & \end{matrix}\right.$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
hientae_sone (01-03-2014)