Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Chứng minh rằng :$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \leq 1$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 30-09-2013, 15:09
Avatar của minhcanh95
minhcanh95 minhcanh95 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Diễn đàn Mathscope
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Bóng đá
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 147
Điểm: 21 / 1969
Kinh nghiệm: 89%

Thành viên thứ: 14301
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 64
Đã cảm ơn : 6
Được cảm ơn 56 lần trong 39 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $xyz=1$. CMR :$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \leq 1$

Nguyên văn bởi hientae_sone Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là ba số dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng :$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \leq 1$$
Đặt $a = \frac{1}{{x + 2}},b = \frac{1}{{y + 2}},c = \frac{1}{{z + 2}}$, suy ra $x = \frac{1}{a} - 2,y = \frac{1}{b} - 2,z = \frac{1}{c} - 2$. Từ cách đặt, suy ra $0<a,b,c<\dfrac{1}{2}$. Do $xyz=1$ nên ta có $$(1 - 2a)(1 - 2b)(1 - 2c) = abc$$ và điều phải chứng minh trở thành $$a+b+c \le 1$$
Giả sử tồn tại $a,b,c$ mà $0<a,b,c<\dfrac{1}{2}$ sao cho $a+b+c>1$. Khi đó ta có $$0<1-2a<b+c-a \\ 0<1-2b<c+a-b \\ 0<1-2c<a+b-c$$
Suy ra $abc=(1-2a)(1-2b)(1-2c)<(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$
Nhưng theo kết quả quen thuộc ta có $abc \ge (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$, mâu thuẫn.
Từ đó ta có đpcm.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  minhcanh95 
hientae_sone (03-10-2013)