Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Đề thi HSG 12 tỉnh Hà Tĩnh 2015 - 2016
Xem bài viết riêng lẻ
  #4  
Cũ 04-12-2015, 15:14
Avatar của Trần Quốc Việt
Trần Quốc Việt Trần Quốc Việt đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Nạn Đói 45
 
Cấp bậc: 40 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 195 / 978
Điểm: 827 / 11079
Kinh nghiệm: 13%

Thành viên thứ: 29146
 
Tham gia ngày: Nov 2014
Bài gửi: 2.483
Đã cảm ơn : 489
Được cảm ơn 2.375 lần trong 1.096 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG 12 tỉnh Hà Tĩnh 2015 - 2016

Câu hệ $PT2\Leftrightarrow \dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\dfrac{x-y}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1} \right)\left(\sqrt[4]{x+1}+\sqrt[4]{y+1} \right)}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=y \\
\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1} \right)\left(\sqrt[4]{x+1}+\sqrt[4]{y+1} \right)=\sqrt{x}+\sqrt{y} \ (*)
\end{matrix}\right.\\
VT(*)>\left(\sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left(\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{1} \right)>VP(*)\Rightarrow PT(*) \text{vô nghiệm}$

Thế $y=x$ vào PT1 ta có
$$\left(x+2\sqrt[3]{2x+1} \right)x=\sqrt[3]{2x+1}\left(\sqrt{x+1}+2x \right)$$
$$\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt[3]{2x+1}\sqrt{x+1}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-x\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\left(x-\sqrt[3]{2x+1} \right)=0$$
$$\Leftrightarrow \left(x^{2}-x-1 \right)\left(\dfrac{x}{x+\sqrt{x+1}}
+\dfrac{(x+1)\sqrt{x+1}}{x^{2}+x\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{(2x+1)^2}} \right)=0$$

Do $\dfrac{x}{x+\sqrt{x+1}}+\dfrac{(x+1)\sqrt{x+1}}{x ^{2}+x\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{(2x+1)^2}}>0\ \forall x\geq 0$ nên pt tương đương $\begin{cases}
x^{2}-x-1=0 \\
x\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ là nghiệm duy nhất


Trần Quốc Việt


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn