K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán - Xem bài viết riêng lẻ - TOPIC [Topic] Nhìn theo nhiều hướng khi giải phương trình vô tỉ (2016)
Xem bài viết riêng lẻ
  #73  
Cũ 06-03-2016, 08:37
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11838
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Mặc định Re: [Topic] Nhìn theo nhiều hướng khi giải phương trình vô tỉ (2016)

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Bài 34: Giải phương trình trên tập số thực:
$$\frac{1}{\sqrt{5x}+\sqrt{2x+2}}+\frac{1}{\sqrt{5 x}+\sqrt{8x-2}}=\sqrt{2x}$$
.
Cách 1:

Đk: $x\geq \frac{1}{4}$
Nếu $x>\frac{1}{3}$ ta có:
$VP=\sqrt{2x}>\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\sqrt{5x}+\sqrt{2x+2}>\sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{ \frac{8}{3}}\Rightarrow \frac{1}{ \sqrt{5x}+\sqrt{2x+2}}<\frac{\sqrt{3}}{ \sqrt{5}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{24}-\sqrt{15}}{3}$
$\sqrt{5x}+\sqrt{8x-2}>\sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5x}+\sqrt{8x-2}}<\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt {15}-\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow VT<\frac{\sqrt{24}-\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}=VT$
Nếu $\frac{1}{4}\leq x<\frac{1}{3}$ ta có:
$VP=\sqrt{2x}<\sqrt{\frac{2}{3}}$
$\sqrt{5x}+\sqrt{2x+2}<\sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{ \frac{8}{3}}\Rightarrow \frac{1}{ \sqrt{5x}+\sqrt{2x+2}}>\frac{\sqrt{3}}{ \sqrt{5}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{24}-\sqrt{15}}{3}$
$\sqrt{5x}+\sqrt{8x-2}<\sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5x}+\sqrt{8x-2}}>\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt {15}-\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow VT>\frac{\sqrt{24}-\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}=VT$
Nếu $x=\frac{1}{3}$ phương trình nghiệm đúng. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{3}$

Cách 2:

Đk: $x\geq \frac{1}{4}$
Xét hàm số: $f(x)=VT\Rightarrow f'(x)=-\frac{\frac{1}{\sqrt{2x+2}}+\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt {x}}}{\left(\frac{1}{\sqrt{5x}+\sqrt{2x+2}} \right)^2}-\frac{\frac{4}{\sqrt{8x-2}}+\frac{ \sqrt{5}}{2\sqrt{x}}}{\left(\frac{1}{\sqrt{5x}+ \sqrt{8x-2}} \right)^2}<0$
Xét hàm $g(x)=VP\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}>0$
Nhận thấy VT là hàm nghịch biến và liên tục trên miền xác định, VP là hàm đồng biến, liên tục trên miền xác định, mà $f\left(\frac{1}{3} \right)=g\left(\frac{1}{3} \right)$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{3}$

Cách 3:


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Duy Hồng 
duyanh175 (06-03-2016)