Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Thử sức trước kì thi: đề số 2(th&tt)
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 13-11-2014, 02:23
Avatar của ---=--Sơn--=---
---=--Sơn--=--- ---=--Sơn--=--- đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: TK12NBK
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: TPT
 
Cấp bậc: 24 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 577
Điểm: 235 / 7105
Kinh nghiệm: 10%

Thành viên thứ: 23716
 
Tham gia ngày: Apr 2014
Bài gửi: 705
Đã cảm ơn : 450
Được cảm ơn 311 lần trong 241 bài viết

Mặc định Re: Thử sức trước kì thi: đề số 2(th&tt)

Câu BĐT: Cho $a, b, c >0$ thỏa $abc=\dfrac{1}{6}$. tìm GTNN của:
$$P=\dfrac{1}{a^4(2b+1)(3c+1)}+\dfrac{1}{16b^4(3c+ 1)(a+1)}+\dfrac{1}{81c^4(a+1)(2b+1)}$$
Đặt $x=a, y=2b, z=3c$ với $x, y, z>0$
Khi đó, ta có: $xyz=1$ và:
$$P=\dfrac{1}{x^4(y+1)(z+1)}+\dfrac{1}{y^4(z+1)(x+ 1)}+\dfrac{1}{z^4(x+1)(y+1)}$$
$$=\dfrac{y^4z^4}{(y+1)(z+1)}+\dfrac{x^4z^4}{(z+1) (x+1)}+\dfrac{x^4y^4}{(x+1)(y+1)}$$
$$\geq \dfrac{(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)^2}{(y+1)(z+1)+(z+1)( x+1)+(x+1)(y+1)}$$
$$=\dfrac{(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)^2}{xy+yz+xz+2(x+y +z)+3}$$
Mặt khác, ta có:
$x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2 \geq xy+yz+xz$
$(xy+yz+xz)^2 \geq 3xyz(x+y+z) \Rightarrow x+y+z \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$ ( vì $xyz=1$ )
Đặt $a=xy+yz+xz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$
Khi đó, ta có:
$$P \geq \dfrac{a^2}{a+2.\dfrac{a^2}{3}+3}=\dfrac{3a^2}{2a^ 2+3a+9}$$
Đến đây khảo sát $f(a)=\dfrac{3a^2}{2a^2+3a+9}$ với $a \geq 3$
Suy ra được $P \geq f(a) \geq f(3)=\dfrac{3}{4}$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn