Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Tìm GTNN của $P=\frac{a^2b}{c^3}+\frac{b^2c}{a^3}+\frac{c^2a}{b ^3}+ \frac{13abc}{3(ab^2+bc^2+ca^2)}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #3  
Cũ 16-11-2013, 18:33
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 656
Điểm: 312 / 10832
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.235 lần trong 559 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $P=\frac{a^2b}{c^3}+\frac{b^2c}{a^3}+\frac{c^2a}{b ^3}+ \frac{13abc}{3(ab^2+bc^2+ca^2)}$

Nguyên văn bởi LeNhatDuy09 Xem bài viết
Cho $a,b,c$ dương. Tìm GTNN của :
$$P=\frac{a^2b}{c^3}+\frac{b^2c}{a^3}+\frac{c^2a}{ b^3}+ \frac{13abc}{3(ab^2+bc^2+ca^2)}$$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$$ P \geq
\dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{abc(a^2b+b^2c+c^2a)}+
\dfrac{13abc}{3(ab^2+bc^2+ca^2)}$$
$$ P \geq \dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a)}{abc}+
\dfrac{13abc}{3(ab^2+bc^2+ca^2)}$$
Đến đây, đặt $x=\dfrac{c}{b};y=\dfrac{a}{c};z=\dfrac{b}{a} \to xyz=1$ đưa bài toán về
$$ P \geq x+y+z+\dfrac{13}{3(xy+yz+zx)} $$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có
$$ P \geq x+y+z+\dfrac{13}{(x+y+z)^2} $$
$$ P \geq \dfrac{13(x+y+z)}{27}
+\dfrac{13(x+y+z)}{27}
+\dfrac{13}{(x+y+z)^2}+\dfrac{x+y+z}{27} \geq \dfrac{40}{9} $$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (16-11-2013), Đình Nam (26-05-2014)