Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Chứng minh bất đẳng thức sau với $a,b,c>o$ $\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2} }+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 26-11-2014, 03:30
Avatar của HongAn39
HongAn39 HongAn39 đang ẩn
$\Huge{\mathcal{HongAn}}$
Đến từ: TP HCM
Nghề nghiệp: Sinh Viên
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 259
Điểm: 50 / 3278
Kinh nghiệm: 38%

Thành viên thứ: 20204
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 152
Đã cảm ơn : 70
Được cảm ơn 301 lần trong 117 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẳng thức sau với $a,b,c>o$: $\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2} }+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}}$

Nguyên văn bởi Việt Cồ Xem bài viết
Chứng minh bất đẳng thức sau với $a,b,c>0$:
$$\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c })}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2} }+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}}$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[\left ( \sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) }-1 \right )^2 \geq 1+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2})} \\ \Leftrightarrow (a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \geq 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )}+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2})} \\ \Leftrightarrow (a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \geq 2\sqrt{(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})(ab +bc+ca)}+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1 }{b^2}+\frac{1}{c^2})}\]
Bất đẳng thức luôn đúng do theo $Cacuchy-Schwarz$ ta có:
$$ (a+b+c) ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} ) = \sqrt{ ( \sum a^2 + 2 \sum ab ) ( \sum \frac{1}{a^2} + 2\sum \frac{1}{ab} )} $$
$$ \geq 2 \sqrt{( \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca})(ab+bc+ca)}+ \sqrt{(a^2+b^2+c^2)( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2})} $$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn