Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - Cho $x,y,z \ge 0$ thoả mãn: $xy+yz+zx=3$. Tìm GTNN của: $P=\frac{x+y}{1+xy}+\frac{y+z}{1+yz}+\frac{z+x}{1+ zx}$
Xem bài viết riêng lẻ
  #2  
Cũ 07-03-2013, 02:17
Avatar của Sv_ĐhY_013
Sv_ĐhY_013 Sv_ĐhY_013 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 160
Điểm: 24 / 2490
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 4579
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 72
Đã cảm ơn : 96
Được cảm ơn 119 lần trong 50 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi ramanujan Xem bài viết
Cho $x,y,z \ge 0$ thoả mãn: $xy+yz+zx=3$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{x+y}{1+xy}+\frac{y+z}{1+yz}+\frac{z+x}{1+ zx}$
Áp dụng BĐT AM_GM:
$P\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(1+xy)(1+yz)(1+zx)}}$

Như vậy ta chỉ cần đi chứng minh BĐT $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(1+xy)(1+yz)(1+zx)}\geq 1$

$\Leftrightarrow -x^2y^2z^2-xyz(x+y+z+1)+3(x+y+z)-4\geq 0$

Đặt $t=xyz$ từ giả thiết ta dễ dàng suy ra $t \in [0,1]$
Xét $f(t)=-t^2-t(x+y+z+1)+3(x+y+z)-4$ là hàm nghịch biến, suy ra

$f(t) \geq f(1)=3(x+y+z-3) $ mặt khác $x+y+z =\sqrt{(x+y+z)^2\geq \sqrt{3(xy+yz+zx}}=3$

Ta suy ra dpcm
Hay GTNN $P=3$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lưỡi Cưa (07-03-2013), Tuấn Anh Eagles (07-03-2013)