TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Xem bài viết riêng lẻ - Cho các số dương a, b, c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc \geq 19$
Xem bài viết riêng lẻ
  #3  
Cũ 05-07-2014, 16:53
Avatar của BMT.BinU
BMT.BinU BMT.BinU đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Học Sinh
Sở thích: Toán Học
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 37
Điểm: 4 / 487
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 27551
 
Tham gia ngày: Jul 2014
Bài gửi: 14
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 16 lần trong 8 bài viết

Mặc định Re: Cho các số dương a, b, c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc \geq 19$

Nguyên văn bởi manhtuanthpttt Xem bài viết
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:$2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2 })+4abc\geq 19$
Ta sẽ đồng bậc bất đẳng thức, sử dụng $a+b+c=3$ , ta cần chứng minh
$2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2} )\geq \frac{19}{27}(a+b+c)^{3}$
Khai triển và thu gọn ta được
$\frac{8}{27}(a^{3}+b^{3}+c^{3})+2(a^{2}b+b^{2}c+c ^{2}a)\geq \frac{10}{9}\sum ab(a+b)+\frac{2}{9}abc$
$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+27(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq 15\sum ab(a+b)+3abc$
$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+12(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq 15(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+3abc$
Sử dụng bổ đề quen thuộc $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$ là OK.


Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  BMT.BinU 
SieuNhanVang (05-07-2014)