Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán - Xem bài viết riêng lẻ - How prove this inequality $a+b+c=3$
Xem bài viết riêng lẻ
  #4  
Cũ 16-03-2014, 20:22
Avatar của tieuquy9x
tieuquy9x tieuquy9x đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 2 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 34
Điểm: 4 / 526
Kinh nghiệm: 38%

Thành viên thứ: 14868
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 13
Đã cảm ơn : 20
Đã được cảm ơn 1 lần trong 1 bài viết

Mặc định Re: How prove this inequality $a+b+c=3$

Nguyên văn bởi xinwen Xem bài viết
Hello,and then? Thank you for you post .
lemma
We have :
(3+ab)(3+bc)(3+ca)=(abc)$^{2}$+3abc(a+b+c)+9(ab+bc +ca)+27.
and (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=3(ab+bc+ca)-abc.
ineq $\Leftrightarrow $ abc(1+2(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)$\geq $3(ab+bc+ca)$^{2}$.
by Schur's ineq : abc $\geq $$\frac{4(ab+bc+ca)-9}{3}$ .
ineq $\Leftrightarrow $ ab+bc+ca$\leq 3$.QED.
By AM-GM We have LHS $\geq $3$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{(ab+3)(bc+3)(ca+3)}}{(a+b)^{5}(b+c)^{ 5}(c+a)^{5}}}.$
and $(a+b)(b+c)(c+a)\leq\frac{ 8(a+b+c)^{3}}{27}$.
LHS$\geq $ $\frac{3}{16}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  tieuquy9x 
nhathan1996 (17-03-2014)