PDA

Xem phiên bản đầy đủ : Cấp số cộng - Cấp số nhân


  1. Tính giới hạn : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {5 - x} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
  2. Tính giới hạn : $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt{3x-2}}{x-1}$
  3. Cho $\left(u_{n} \right)$ có số hạng tổng quát $\sum_{1}^{n}\sin^{k}a$.
  4. Tính $OG$ biết các góc của tam giác $ABC$ là một cấp số nhân có công bội $q=2$.
  5. Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết tổng của chúng bằng 21 và theo thứ tự đó chúng là các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ mười lăm của một cấp số cộng.
  6. Tìm bốn số nguyên khác nhau, biết rằng chúng lập thành cấp số cộng sao cho số hạng đầu bằng tổng các bình phương của ba số hạng còn lại.
  7. Xác định số hạng tổng quát của dãy, biết $u_1=0$ và $u_n =\frac{2}{u_{n-1}^2 +1}$
  8. Tính tổng $S=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac {2n-1}{2^{n-1}}$
  9. Cho dãy số $U_n$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_1=1 & \\ U_{n+1}=\sqrt{U_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}}& \end{matrix}\right.$Với $n\epsilon N^*$
  10. Cho cấp số cộng ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{9}}$ thỏa mãn: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{9}}=90$, $\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+...+\frac {1}{{{a}_{9}}}=7$. Tìm cấp số cộng đó.
  11. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân
  12. Tìm tổng sau: $S= \frac{1}{7}+\frac{1}{77}+\frac{1}{777}+...+ \frac{1}{77...7}$ (Trong đó 7.7...7 gồm n số 7)
  13. Cho cấp số cộng a1,a2,…,an,… và cấp số nhân b1,b2,…,bn,… thỏa mãn ak>0,∀k và a1=b1≠a2012=b2012. Chứng minh rằng ak>bk,∀1<k<2012.
  14. Cho dãy số xác định và các yếu tố liên quan
  15. Lớp 11 Chứng minh ${u_n} = {n^7} - n$ chia hết cho 7.
  16. Lớp 11 Bằng phương pháp quy nạp toán học , chứng minh rằng :$$\sqrt {6 + \sqrt {6 + \sqrt {6 + \sqrt {6 + ........ + \sqrt 6 } } } } + \sqrt {30 + \sqrt {30 + \sqrt {30 + ........ + \sqrt {30} } } } < 9$$.
  17. Lớp 11 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a , ta có bất đẳng thức sau :$$\sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + ........ + \sqrt a } } } } < \frac{{1 + \sqrt {4a + 1} }}{2}$$.
  18. Lớp 11 Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương ta có :$$3(1!) + 7(2!) + .... + ({n^2} + n + 1)(n!) = {(n + 1)^2}(n!) - 1$$
  19. Lớp 11 Cho hàm số :$$y = f(x) = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$$ . Và đặt :$${f_2}(x) = f\left[ {f(x)} \right]$$ ;.............;$${f_2}(x) = f\left[ {f(x)} \right]$$ .Tính$$[{f_2}(x) = f\left[ {f(x)} \right]$$ theo n và x ?
  20. Lớp 11 Tính :$${S_n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{15}} + ........... + \frac{1}{{4{n^2} - 1}}$$ theo n , biết rằng n thuộc tập số nguyên dương ?
  21. Lớp 11 Giải bất phương trình sau :$$[{2^n} \le 2n + 1$$ .Biết rằng n thuộc tập hợp các số nguyên dương , và n>9
  22. Lớp 11 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có : a)$${n^n} \ge {(n + 1)^{n - 1}}$$ . b)$${(n!)^2} \ge {n^n}$$
  23. Lớp 11 Cho n thuộc tập hợp các số nguyên dương ; và n>9. Chứng minh rằng : a)$n(2{n^2} - 3n + 1)$ chia hết cho 6 ? b)$${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$$ chia hết cho 133 ?
  24. Lớp 11 Chứng minh bất đẳng thức sau :$dfrac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ...... + \frac{1}{{n + n}} > \frac{{13}}{{24}}$ . Biết rằng n thuộc tập nguyên dương và n>3 ?
  25. Lớp 11 Cho dãy số sau bởi hệ thức truy hồi :$$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3} \end{array} \right.$$. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số ?
  26. Lớp 11 Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi $u_{n + 1} = 2.u_n$
  27. Lớp 11 Rút gọn biểu thức sau :$${u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 3} \right)}}} $$
  28. Lớp 11 Xét tính tăng giảm của dãy số sau :$$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \sqrt {12} \\ {u_{n + 1}} = \sqrt {12 + \sqrt {{u_n}} } \end{array} \right.$$
  29. Lớp 11 Xét tính đơn điệu của dãy số sau :$$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 0\\ {u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + {u_n} + 2} \end{array} \right.$$
  30. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta đều có: $$\sqrt{2}+ \sqrt{3^2}+ ...+\sqrt{(n+1)^n} < (n+1)!.$$
  31. Lớp 11 Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi ${u_1} = a$ và ${u_{n + 1}} = \frac{{12}}{{{u_n}}}$ , với mọi n nguyên dương và hằng số a khác :0 . Tìm a để dãy số $({u_n})$ là cấp số nhân
  32. Lớp 11 Chứng minh rằng :$$\frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \frac{1}{{{u_3}{u_4}}} + .... + \frac{1}{{{u_{n - 1}}{u_n}}} = \frac{{n - 1}}{{{u_1}{u_n}}}$$
  33. Lớp 11 Cho n> 1 là số nguyên dương và các số thực $${x_1};{x_2};{x_3};....;{x_n}$$ trong khoảng ( 0;1) . Chứng minh rằng :$$(1 - {x_1})(1 - {x_2}).....(1 - {x_n}) > 1 - {x_1} - {x_2} - ... - {x_n}$$
  34. Lớp 11 Cho n là số nguyên dương và các số thực dương$$[{x_1};{x_2};{x_3};....;{x_n}$$ thỏa mãn $${x_1}{x_2}{x_3}....{x_n} = 1$$ . Chứng minh rằng : $${x_1} + {x_2} + {x_3} + .... + {x_n} \ge n$$
  35. Lớp 11 Cho n >1 là số nguyên dương . Chứng minh :$$1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt n }} > n$$
  36. Lớp 11 Cho n>1 là số nguyên dương .Chứng minh rằng :$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{{{2^n} - 1}} < n$$
  37. Lớp 11 Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_1} = 1$ và $${u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} $$ với mọi n nguyên dương
  38. Lớp 11 Cho dãy số $({u_n})$ có tổng của n số hạng đầu tiên là ${S_n} = \frac{{n(7 - 3n)}}{2}$ a)Xác định công thức của ${u_n}$ b)Chứng minh $({u_n})$ là cấp số cộng ?
  39. Lớp 11 Xét tính tăng---- giảm và bị chặn của dãy số sau :$$({u_n}):\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \sqrt 6 \\ {u_{n + 1}} = \sqrt {5{u_n} + 6} \end{array} \right.$$
  40. Cho dãy số thực $a_{1},a_{2},.....a_{n}$ thỏa $\left\{\begin{matrix}a_{1} & = & 2014 & & & & & \\ a_{1}& + & a_{2} &+....+& a_{n} & = & n^{2}a_{n} & \end{matrix}\right.Tính: a_{201
  41. Lớp 11 Cho dãy số ${u_n}$ xác định bởi hệ thức sau :$$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2 + 4}}{4} \end{array} \right.$$ Với n= 1 ; 2; 3 ;......
  42. Xét tính tăng - giảm và bị chặn của dãy số sau : $u_{u}=\frac{3n+1}{5n-2014}$
  43. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số:
  44. Lớp 11 Chứng minh dãy số tăng = qui nạp
  45. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ cho bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=2 \\ u_{n+1}=9u_{n}^3+3u_{n} \end{matrix} \right.$
  46. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ cho bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=\dfrac{3}{\sqrt{6}} \\ u_n=24u_{n-1}^3-12\sqrt{6}u_{n-1}^2+15u_{n-1}-\sqrt{6} , n=1,2,3,.. \end{matrix} \right.$
  47. Xác định công thức tổng quát của dãy số sau ( với mọi n thuộc $N^{*}$ $\left\{\begin{matrix} U_{1}= 0 & \\ U_{n+1} = \frac{5U_{n}-2}{4U_{n}-1}& \end{matrix}\right.$
  48. CMR: Với mọi m PT $x^3-(m^2+3)x^2+(m^2+3)x-1=0$ luôn có 3 nghiệm lập thành CSN
  49. Cho dãy số $U_{n}$ xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l} u_{1}=u_{2}=0\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}^2+2u_{n}-u_{n-1}+2}{u_{n-1}+1} \end{array} \right.\] CMR: với mọi u_{n} nguyên dương với mọi n nguyên dương
  50. $U_{n} = \frac{1}{(n+1)(2n+3)} Tính tổng S_{2012} = U_{1}+U_{2} +U_{3}+.......+U_{2012}$
  51. Chứng minh bằng quy nạp với mọi a >0 luôn có bdt :$$\sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + ........ + \sqrt a } } } } < \frac{{1 + \sqrt {4a + 1} }}{2}$$
  52. Lớp 11 Cho bốn số U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; lập thành cấp số cộng
  53. Tìm các số nguyên dương n,k biết n<20
  54. Tồn tại dãy số : [TEX]2;4;7;12;12;16;22;...[/TEX] hay không?
  55. Lớp 11 Chứng minh nếu $\tan \frac{A}{2}$ , $\tan \frac{B}{2}$, $\tan \frac{C}{2}$ lập thành 1 cấp số cộng thì $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ cũng lập thành 1 cấp số cộng
  56. Tìm số hạng tổng quát
  57. Chứng minh nếu cot A, cot B, cot C lập thành 1 cấp số cộng thì $BC^{2}$, $AC^{2}$, $AB^{2}$ cũng lập thành 1 cấp số cộng
  58. Cho a$_{k}$= 6.7$^{k-1}$ (k$\geq $1, k$\epsilon $ N).
  59. Chứng minh rằng (U_{n}) bị chặn dưới.
  60. Hình giải tích phẳng
  61. $$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 30\\ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 340 \end{array} \right.$$
  62. Một đề góp nhặt về ứng dụng toán học trong thực tiễn
  63. Dãy số khó
  64. Tìm a để phương trình cosx = a có các nghiệm lập thành cấp số cộng.