PDA

Xem phiên bản đầy đủ : Bất đẳng thức - Cực trị


Trang : [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

  1. Tìm Min của : $P=\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z} $
  2. Tìm GTNN của : F=$ \frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+ \frac{c^{2}}{a+2b}$
  3. [Câu V] - Đề thi thử số 1
  4. Cho $a, b, c\geq 0$, $a+b+c=6$ và $a\ge 3$, $b \ge 2$. Tìm GTLN, GTNN của: $P=6a+b^2+c^2$
  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P = \frac{{4a}}{{a + b + 2c}} + \frac{{b + 3c}}{{2a + b + c}} - \frac{{8c}}{{a + b + 3c}}$
  6. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức : $P = \frac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}$
  7. Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\sqrt{(1+x^4)(1+y^4)}-(\dfrac{x+y}{2})^4 $
  8. Tìm giá trị lớn nhất của $ P=(1+x^2)^x.(1+y^2)^y.(1+z^2)^z $
  9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ Q=|2x-y|+|2y-z|+|2z-x|-\ln \left( {\sqrt {14\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} + 1} \right)$
  10. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=(x+2)(y+2)(z+2) $
  11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P = \frac{{3\left( {b + c} \right)}}{{2a}} + \frac{{4a + 3c}}{{3b}} + \frac{{12\left( {b - c} \right)}}{{2a + 3c}}$
  12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $Q = \frac{{2ab + a + b + c\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}$
  13. Tìm GTNN của biểu thức: $\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^ 2(x+y)}{xy}$
  14. Chứng minh BĐT : $\frac{\sqrt[]{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt[]{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt[]{1+z^3+x^3}}{zx}\geq 3\sqrt[]{3}$
  15. Câu V-Đề thi thử số 2
  16. Chứng minh: $\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-d^2}\ge 1$
  17. Cho x,y,z là 3 số thực dương thay đổi.tìm GTNN của biểu thức: $ P=x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})+y(\frac{y}{2}+\frac{ 1}{zx})+z(\frac{z}{2}+\frac{1}{xy}) $
  18. Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 $ CMR: $ \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq 1 $
  19. Chứng minh rằng : $\dfrac{1}{a^a(b+c)}+\dfrac{1}{b^b(c+a)}+\dfrac{1} {c^c(a+b)}\leq \frac{3}{2} $
  20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=4x+3y+24z+\dfrac{19}{x}+\dfrac{25}{3y}+\dfrac{8 }{3z}$
  21. Cho $ x,y,z $ là các số dương.CMR: $ \frac{x^{4}}{y+z}+\frac{y^{4}}{x+z}+\frac{z^{4}}{x +y}\geq \frac{1}{2}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) $
  22. Cho $a^3+b^3=2 $.chứng minh rằng $0<a+b\leq 2$
  23. Với $ x>0 $. Tìm GTNN của biểu thức: $ A=x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}} $
  24. Cho các số thực dương $ x,y $. CMR: $ \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy} $
  25. Cho $ -2\leq x\leq 5 $. Tìm GTNN của hàm số": $ Y=\sqrt{-x^{2}+4x+21}-\sqrt{-x^{2}+3x+10} $
  26. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $ P=x+y+z-xyz $
  27. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $ P= \dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x}+y\left( {y + \dfrac{1}{x} + 2} \right)$
  28. Chứng minh rằng : $xy + yz + zx \ge x + y + z$
  29. Cho$ a\geq 1 ,b\geq 1.CMR: a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$
  30. Cho x,y,z là 3 số thực dương thoả mãn x+y+z=2 . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=$\frac{x^2}{z+y}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} $
  31. Chứng minh rằng nếu $a+b\geq 2$ thì $a^3+b^3\leq a^4+b^4$
  32. Cho $ \begin{cases} x,y>0& {} \\ x^{3}+y^{3}=2& { } \end{cases} $.Chứng minh: $ x^{2}+y^{2}\leq 2 $
  33. Cho $ \begin{cases} x,y,z>0& \text{ } \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3& \text{ } \end{cases} $. Chứng minh: $ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z} $
  34. Tìm GTNN của: $ A=\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1} $
  35. Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng: $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}+c^{2}}{b+c} +\dfrac{c^{2}+a^{2}}{a+c}\leq 3(\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}) $
  36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $ P=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2} $
  37. Chứng minh rằng: Nếu x,y,z thoả mãn $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $ Thì $ \frac{-1}{2}\leq xy+yz+xz\leq 1 $
  38. Cho x,y thay đổi sao cho $ 0\leq x\leq 3 ; 0\leq y\leq 4 $ Tìm GTLN của: $ A=(3-x)(4-y)(2x+3y) $
  39. Cho $ 0\leq a,b,c\leq 1 $ Chứng minh: $ \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1 $
  40. Chứng minh rằng: $\dfrac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\dfrac{27c^3}{4a+4b+c}+ \dfrac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}\ge 16$
  41. Cho 2 số dương thay đổi thỏa mãn: $ x+y\geq 4 $.tìm Min: $ A=\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}} $
  42. Chứng minh rằng: $\dfrac{x}{1+yz} +\dfrac{y}{1+zx} + \dfrac{z}{1+xy} \le \dfrac{1}{4xyz}$
  43. Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức: $P = 2{\left( {x + y} \right)^3} + \frac{1}{{16{{\left( {{x^2}y + x{y^2}} \right)}^2}}} + \frac{{24\left( {xy - 1} \right)}}{{x + y}}$
  44. Cho $36<a^3$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
  45. Chứng minh $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\leq 3$ với $a+b+c+abc=0$
  46. Tìm giá trị lớn nhất của: $ P=(3-a)(3-b)(3-c)(\dfrac{1}{a^2b^2}+\dfrac{1}{b^2c^2}+\dfrac{1}{c ^2a^2})$
  47. Chứng minh: $(b-c)^2\geq 4a(a+b+c)$ với $(a+c)(a+b+c)<0$
  48. Tìm GTLN GTNN của $P=x^3+y^3+5z^3$
  49. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=x^4+y^4+z^4$, biết :$ x+y+4 $ và $xyz=3$
  50. Câu V .Đề thi lần 3 ngày 10-11-2012
  51. Cho $x,y,z \ge 0 : x+y+z=1 $. Tìm giá trị lớn nhất của : $P=x^2y+y^2x+z^2x $
  52. Cho $ x^{2}+y^{2}=1 $. Tìm Max,Min của: $ S=\frac{2(xy+y^{2})}{2xy+2x^{2}+1} $
  53. Cho $ x^{2}+y^{2}=1 $.Tìm Max, Min của: $ A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x} $
  54. Cho $x, y \ge 0 : x^2+y^2=2$ . Tìm GTLN, NN của : $P=2\sqrt{x}+y $
  55. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : $S={{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}$
  56. Chứng minh rằng : $ \frac{x^2+1}{x^4+4x^2+1} +\frac{y^2+1}{y^4+4y^2+1}+\frac{z^2+1}{z^4+4z^2+1} \ge 1 $
  57. Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+2y^2+5z^2)\left(\sqrt{(x^2+2y^2+5z^2)^2+4}-1\right)$
  58. Câu V - Đề thi thử số 4 ( Cực trị )
  59. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=x^3y+xy^3$
  60. Chứng minh $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+ \sum \dfrac{a^2+b^2}{ab +c^2} \ge \dfrac{9}{2}$ với $a,b,c$ dương.
  61. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P = \frac{{25\left( {xy + yz + zx} \right)}}{{2{x^3} + 3{y^2} + 6z + 1}} - \sqrt[4]{{xyz}}$
  62. [Toán 10] Tìm GTLN của biểu thức $P=x(2+y)$
  63. Cho a,b,c > 0.CMR$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \le \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}} + \frac{4}{{{{\left( {b + c} \right)}^3}}} + \frac{4}{{{{\left( {c + a} \right)}^3}}}$
  64. Chứng minh BĐT : $ \dfrac{1}{20\sqrt{a}+11\sqrt{b}+2009\sqrt{c}} +\dfrac{1}{20\sqrt{b}+11\sqrt{c}+2009\sqrt{a}}+ \dfrac{1}{20\sqrt{c}11\sqrt{a}2009\sqrt{b}} \geq \dfrac{1}{680} $
  65. Cho $x,y\in \mathbb{R}$ và $x,\ y > 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P= \dfrac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$
  66. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2b^2} + \frac{1}{1 + b^2c^2} + \frac{1}{1 + c^2a^2} \ge \frac{9}{2(a + b + c)} $
  67. Cho các số thực $x, y >0 $. Thõa mãn: $x+y+1=3xy$
  68. Chứng minh rằng với $ a>\frac{1}{8} $ thì x là 1 số nguyên dương với: $ x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}} $
  69. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm min của $P=x^4+y^4+8z^4$
  70. Chứng minh rằng: $ab+bc+cd+da+\frac{2}{(a+b)(c+d)}\leq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}}+\frac{a+b+ c+d}{4}$
  71. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+1=z$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$ \dfrac{x^3}{x+yz}+ \dfrac{y^3}{y+zx}+ \dfrac{z^3}{z+xy}+\dfrac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1) }} $$
  72. Với $a,b,c$ dương .Chứng minh rằng :${{\left( \dfrac{a}{b+c} \right)}^{\sqrt{3}}}+{{\left( \dfrac{b}{a+c} \right)}^{\sqrt{3}}}+{{\left( \dfrac{c}{a+b} \right)}^{\sqrt{3}}}\ge \dfrac{3}{{{2}^{\sqrt{3}}}}$
  73. Câu V- Đề thi thử đại học toán năm 2013
  74. Câu VIIa-Đề thi thử đại học lần I 2012 trường THPT Nam Khoái Châu-Hưng Yên
  75. Câu VIIb-Đề thi thử đại học lần I 2012 trường THPT Nam Khoái Châu-Hưng Yên
  76. [Topic] Dành cho các bạn mới tiếp xúc với bất đẳng thức !
  77. Câu II.1-Đề kiểm tra đội tuyển HSG-trường THPT Hà Huy Tập lần 2
  78. Câu III.1-Đề kiểm tra đội tuyển HSG-trường THPT Hà Huy Tập lần 2
  79. Câu III.2-Đề kiểm tra đội tuyển HSG-trường THPT Hà Huy Tập lần 2
  80. Câu 4- Đề tự luyện cho Đội tuyển HSG Tỉnh
  81. Câu V.Đề thi thử số 5
  82. Cho hai số thực không âm $ x,y $ thoả mãn $ x+y=1 $.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3x)+25xy$
  83. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}}+\sqrt{\frac{b+2a }{b^{2}+2a^{2}}}\leq \sqrt{\frac{8}{a+b}}$
  84. Nếu a và b là các số thực không âm, thì: $\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+(1-b)^{2}}\geq (1+\sqrt{5})(1-ab)$
  85. [2013]Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P=\left( a+b+c \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{4{{a}^{2}}+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{ {b}^{2}}+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{4{{c}^{2}}+ab}} \right)$
  86. Câu V- Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2012-2013
  87. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A=${x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right).\left( {x + y - 2} \right)$
  88. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:$P=\frac{\sqrt{5-4a}-\sqrt{1+a}}{\sqrt{5-4a}+2\sqrt{1+a}+6}$
  89. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=\frac{2}{x^2+1} - \frac{2}{y^2+1} -\frac{4z}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{3z}{(z^2+1).\sqrt{z^ 2+1}} $
  90. Chứng minh : $2a^3b+3b^2+4c\leq 4$
  91. Chứng minh rằng : $a^a.b^b+a^b.b^a \leq 1$
  92. Chứng minh rằng với $ k \geq 1 ,$ ta luôn có $ \dfrac{a}{a^k+b^k+c}+\dfrac{b}{b^k+c^k+a}+\dfrac{c }{c^k+a^k+b} \leq 1.$
  93. Cho $x \ge 2$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=x+\frac{1}{x}+\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$
  94. [TOPIC] Giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.
  95. Tìm GTNN $P=2a^3+3b^2+c$ với $a+b+c=1,a,b,c>0$
  96. Tìm GTNN và GTLN (nếu có) của biểu thức $A= 5a^2\left(a- \dfrac{3\sqrt{5}}{10}\right)+3b^2+6c$
  97. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P= \dfrac{x+2y+3z}{\sqrt{x^4+1}+\sqrt{y^4+16}+\sqrt{z ^4+81}}$
  98. [Chia sẽ nhỏ] Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=1.$ Tìm GTNN của biểu thức: $P=2a^3+3b^2+2c$
  99. Tìm GTNN của: $P=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y+3}{\sqrt{y^{ 2}+1}}+\frac{z+3}{\sqrt{z^{2}+1}}$
  100. Chứng minh rằng :$\ln \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right) > \frac{{2y}}{{2x + y}}$
  101. Câu VII.Đề thi thử lần 1 của trường THPT Lý Thái Tổ
  102. Câu 6 -đề thi thử lần I của trường THPT Nguyễn Đình Chiểu
  103. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: $x+y+z=3\sqrt{3}$. Chứng minh rằng:
  104. Câu 8.I- đề kiểm tra chất lượng học kì I lớp 11
  105. Câu 8.II- đề kiểm tra chất lượng học kì I lớp 11
  106. Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a^{13}+b^{13}=2.$ CMR: $5a^4+3b^4\ge 8a^2b$
  107. Tìm Min : $P=\frac{x+3}{(x-1)^{2}}+\frac{y+3}{(y-1)^{2}}+\frac{z+3}{(z-1)^{2}}$
  108. [Câu V] Đề số 3 - toanphothong.vn
  109. Tìm GTNN của biểu thức: $\ P= \frac{3}{1006}\left({a}^{2012}+{b}^{2012}+{c}^{201 2} \right)+4abc.$
  110. Chứng minh rằng : $\frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + 2b}} \ge \frac{{16}}{{27}}$
  111. Cho $a,b>0$. Chứng minh $(a^2+1)(b^2+1) \ge ab(a+b+1)+1.$
  112. Chứng minh rằng: $x+2y+3z\geq 3\left(\sqrt[3]{x.y.z}+\sqrt[3]{y.z^{2}} \right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y} \right)^{2}$
  113. Cho $x;~y;~z>0$ Chứng minh : $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}} +\frac{z}{\sqrt{z^2+x^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
  114. Cho các số thự không âm $x,y,z$ thoả mãn điều kiện: $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=2x\sqrt{yz}+zx-2xyz$.
  115. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P = \frac{{x + 2y + 1}}{{x{}^2 + y{}^2 + 7}}$
  116. Chứng minh: $\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2 } +2}\leq1$
  117. Chứng minh rằng: $\frac{a}{{b + c + 1}} + \frac{b}{{c + a + 1}} + \frac{c}{{a + b + 1}} + \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \le 1$
  118. Chứng minh: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$
  119. Cho $x,y>0 ; x+y \le 2$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P =\frac{3}{x^2y^2}+(x^6-1)+(y^6-64)$
  120. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+\frac{(1+2xy)^2-3}{2xy}$
  121. Câu 5-đề thi thử đại học tháng 12-2012
  122. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P = \frac{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\sqrt {1 + 2xy} }}{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 1}}$
  123. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P= ab+bc+ca+ \frac{3}{abc}$.
  124. Chứng minh $a^2+ b^2+c^2 \ge 4(a^2b^2+ b^2c^2+c^aa^2).$
  125. Cho $x+y+z=3$.CMR:$3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+4xyz\ge 13$
  126. Tìm GTLN và GTNN của $P=x^2-xy+2y^2$
  127. Câu V. Đề thi thử đại học số 6 năm 2013.
  128. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$2z(x+y)^3+2(x+y)z^3=5(x+y+z)(zx+zy)-16$ Tìm GTNN của biểu thức: $P= \dfrac{x^2}{2yz+1}+ \dfrac{x}{2z+x}+ \dfrac{1}{18x-13}$
  129. Chứng minh : $\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c}} \right)$
  130. Chứng minh rằng : $\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ ca^2}{b^3} \ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$
  131. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{1+x^{2}}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y^{2}}{1 +y}}+\sqrt{\frac{1+z^{2}}{1+z}}\leq 3\left(\frac{x+y+z}{3} \right)^{\frac{5}{8}}$
  132. Chứng minh: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{ \frac{{2(xy+yz+zx)}}{{x^2+y^2+z^2}}}\geq 6$
  133. Cho $a,b,c>0$.Tìm max: $P=\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}} {b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$
  134. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
  135. Câu 6.Đề thi thử đai học Hồng Đức lần 1-Thanh Hóa
  136. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm: $a+b+c=1$. Chứng minh: $ \sqrt{a+(b-c)^2}+ \sqrt{b+(c-a)^2}+ \sqrt{c+(a-b)^2} \geq \sqrt{3}$
  137. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức: $P=(a+b+c)^3+a(2bc-1)+b(2ca-1)+c(2ab-1)$
  138. Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh: $ \dfrac{2}{9} \le a^3+b^3+c^3+3abc < \dfrac{1}{4}$
  139. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $4abc \Bigg[ \dfrac{1}{(a+b)^2c}+ \dfrac{1}{(b+c)^2a}+ \dfrac{1}{(c+a)^2b} \Bigg]+ \dfrac{a+b}{c}+ \dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{c+a}{b} \geq 9$
  140. Cho $a,b,c \in(0;1]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= \dfrac{1}{a+2b+3c}+ \dfrac{1}{b+2c+3a}+ \dfrac{1}{c+2a+3b}+ \dfrac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}$
  141. Cho $a,b,c \geq 1$. Chứng minh rằng: $ \dfrac{1}{1+a}+ \dfrac{1}{1+b}+ \dfrac{1}{1+c} \geq \dfrac{1}{1+ \sqrt[5]{ab^4}}+ \dfrac{1}{1+ \sqrt[5]{bc^4}}+ \dfrac{1}{1+ \sqrt[5]{ca^4}}$
  142. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $ \Bigg(1+ \dfrac{2a}{b} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2b}{c} \Bigg)^2+ \Bigg(1+ \dfrac{2c}{a} \Bigg)^2 \geq \dfrac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
  143. Tìm giá trị lớn nhất của $A=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz$
  144. Tìm Max của $A=xy+yz+zx$
  145. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=xyz-2(x+y+z)$
  146. Tìm max $P= \frac{1}{a(a+bc)+2b(b+ac)} + \frac{1}{b(b+ac)+2(c+ab)} + \frac{1}{c(c+ab)+2a(a+bc)} $
  147. Tìm min: $P=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$ với $ a;b;c \in \left[\dfrac{1}{3};3]\right.$
  148. Câu 7. Đề thi lần 1 khối A của Lý Thái Tổ Bắc Ninh năm 2013.
  149. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{a\left(2a-1 \right)^{2}}+\frac{1}{b\left(2b-1 \right)^{2}}+\frac{1}{c\left(2c-1 \right)^{2}}$
  150. [TOPIC] Sử dụng $AM - GM$ chứng minh bất đẳng thức
  151. Chứng minh : $3a^2+3b^2+3c^2+a^2b^2c^2+8abc\ge 6ab+6bc+6ca$
  152. [TOPIC] Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ chứng minh bất đẳng thức
  153. Cho $a,b,c$ không âm thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
  154. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 4\left( {\frac{{x^3 }}{{y^3 }} + \frac{{y^3 }}{{x^3 }}} \right) - 9\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + \frac{{y^2 }}{{x^2 }}} \right) + 2013$ biết...
  155. Tìm GTLN của biểu thức: $P= \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+2}}$
  156. Cho $a,b,c \in \mathbb R, a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN : $T=25\sqrt{3abc(a+b+c)}+12\sqrt{3(ab+bc+ca)+1}+201 2$
  157. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=10^{|x-y|}+10^{|y-z|}+10^{|z-x|}-4\sqrt{\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{3}} -\frac{x^2+y^2+z^2}{3(x+y+z)}$
  158. Cho $a, b, c >0$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b(a+b)}+ \frac{b}{c(b+c)}+ \frac{c}{a(c+a)} \geq \frac{3}{2\sqrt[3]{abc}}.$
  159. Cho $a, b, c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{a+b}+ \frac{bc}{b+c}+ \frac{ca}{c+a}+ \frac{3}{2} \geq 3\sqrt[3]{abc}$
  160. Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3b}{a+c}+ \frac{b^3c}{b+a}+ \frac{c^3a}{c+b} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}$
  161. Câu V-đề thi số 1 thi thử đại học 2013 trường đại học xây dựng Hà Nội
  162. Câu V. Đề thi thử số 7 của k2pi.net
  163. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P={{x}^{2y}}+{{y}^{2z}}+{{z}^{2x}}$ với mọi $x,y,z\in \left[ 0,1 \right]$
  164. Cho a,b,c là ba số dương thoả $\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} =1$ Tìm GTNN của $Q = ac + bc$
  165. Chứng minh : $\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1} {c})} \ge 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac {1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}}$
  166. Chứng minh : $\dfrac{1}{(1+a)^3}+\dfrac{1}{(1+b)^3}+\dfrac{1}{( 1 +c)^3}+\dfrac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge 1$
  167. Cho $x;y;z \ge 0; x+y+z=2$ Chứng minh $\dfrac{yz}{x^2+1}+\dfrac{zx}{y^2+1}+\dfrac{xy}{z^ 2+1} \leq 1$
  168. Cho các số thực $a, b, c$ thuộc $(0;1]$. Chứng minh rằng: $\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz }\leq \frac{3}{x+y+z}$
  169. Chứng minh: $\sum \dfrac{a^2}{b(a^2+ab+b^2)} \ge \dfrac{3}{a+b+c}$
  170. Cho $a, b, c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^6}{a^3+1}+\frac{b^6}{b^3+1}+ \frac{c^6}{c^3+1}+3 \geq \frac{3}{2}(a^2b+b^2c+c^2a)$
  171. Chứng minh rằng : $2{\left( {{a^3} + 1} \right)^4} \ge \left( {{a^4} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right),\,\,\forall a \ge 0$
  172. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{\frac{ab}{2}}$. Tìm GTNN của : $P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{ac+bc}$
  173. Chứng minh $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)^3 \le 81.$
  174. Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{3}=1$. Tìm GTNN của $P=x^{3}+y$
  175. Cho $x,y\geq 1$ thỏa mãn $x+y+3=xy$. Tìm GTNN của $P=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^{2}-1}}{y}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}$
  176. Cho $x,y \geq 0$ thỏa: $x^2+xy+ \dfrac{y^2}{3} =1$. Tìm GTLN, GTNN của $P=x^3+3y$.
  177. Cho $x,y,z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{2xy}{\left(z+x \right)\left(z+y \right)}+\frac{2yz}{\left(x+y \right)\left(x+z \right)}+\frac{3zx}{\left(y+z \right)\left(y+x \right)}$
  178. Cho các số thực $x,y,z > 0$ thoả mãn: $x+y+z = xyz$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^ {2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$$
  179. Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn điều kiện : $\begin{cases} x\geq 1,y\geq 2,z\geq 3 & \\ \frac{1}{x+\sqrt{x-1}}+\frac{2}{y+\sqrt{y-2}}+\frac{3}{z+\sqrt{z-3}} =1& \end{cases}$ Tìm GTNN và GTLN của $P=x=y=z$
  180. Cho $a,b,c $ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN của $P=\left(5a+\frac{2}{b+c} \right)^{2}+\left(5b+\frac{2}{c+a} \right)^{2}+\left(5c+\frac{2}{a+b} \right)^{2}$
  181. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$.Chứng minh $\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)\ge \frac{125}{64}$
  182. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{\frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{1+ab}} + \sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{1+bc}}+ \sqrt{\frac{{{c}^{4}}+{{a}^{4}}}{1+ca}}$
  183. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P= \frac{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}}{a+b+c}+\frac{3}{4 }.\frac{abc}{a^2b+b^2c+c^2a}$
  184. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac {(1-2y)^2}{x+y+xy} $
  185. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{(c-a)(c-b)}$
  186. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P(a,\,c)\, = \,\frac{{{a^2}\, - \,c}}{{{a^2}c\, - \,{a^3}}}.$
  187. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P\, = \,\frac{{5{a^2}\, - \,3ab\, + \,2}}{{{a^2}(b\, - \,a)}}.$
  188. CMR: $x^2y+y^2z+z^2x\leq \frac{4}{27}$
  189. Cho $x,y,z>0$ thoả mãn: $x^2+y^2+z^2=xyz$. Chứng minh: $xy+yz+zx+9 \geq 4(x+y+z)$
  190. Cho .... Tìm GTNN của : $P=\frac{a\left(3+\frac{2}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)+b\left(3+\frac{2}{2\sqrt{b}-\sqrt{a}}\right)+2\sqrt{c}\left(3\sqrt{c}+\sqrt{2} \right)+5}{2\sqrt[4]{ab}+\sqrt {2c}+1}$
  191. Cho $a,b,c \in(0;1]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= \dfrac{1}{a+2b+3c}+ \dfrac{1}{b+2c+3a}+ \dfrac{1}{c+2a+3b}+ \dfrac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}$
  192. Cho $a,b,c\geq0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $P=\left(a^{2}+a+1 \right)\left(b^{2}+b+1 \right)\left(c^{2}+c+1 \right)$
  193. Cho $x,y,z$ là các số thực không âmm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTNN và GTLN của : $P=x+y+z-xyz$
  194. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=abc+bcd+cde+dea+eab$
  195. Câu V-Thử sức trước kì thi đề số 4 của THTT
  196. Tìm GTNN của $S=\sum \sqrt{\dfrac{b+a}{c}-1}+\sqrt{ \dfrac{a+c}{b}-1}+ \dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}$
  197. Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện:$x^2+y^2-2x=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=4x^3-10x^2-2\sqrt{3}xy+5x+2\sqrt{3}y$
  198. Cho số thực dương $a$ và số thực $b$ thỏa mãn điều kiện:$4a^2-b^2=1$. Chứng minh rằng $8a^3+b^3\geq 3a^2b+\sqrt{3}ab+a$.
  199. Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng : $\frac{a+b+c}{3}\leq \frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}{abc}}$
  200. Tìm max : $P=\frac{\sqrt{xy}}{4-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{zy}}{4-\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{4-\sqrt{zx}}$
  201. Cho $a\geq b\geq c\geq 0$. Chứng minh: $\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \geq \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$.
  202. Cho $x,y,z>0$ thoả: $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\dfrac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$
  203. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=\frac{(2-\sqrt{3})y^3-x^3}{xy+\sqrt{3}y^2}+\frac{(2-\sqrt{3})z^3-y^3}{yz+\sqrt{3}z^2}+\frac{(2-\sqrt{3})x^3-z^3}{xy+\sqrt{3}z^2}$
  204. Tìm min : $P=\frac{3x}{yz}+\frac{4y}{zx}+\frac{5z}{xy}$
  205. Chứng minh : $\frac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz}+\frac{4y+5}{y^3+yz^2+3 xyz}+\frac{4z+5}{z^3+zx^2+3xyz} \geq \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$
  206. Câu V. Đề thi thử số 8 của k2pi.net
  207. Cho $a,b,c$ không âm thoả $ab+2bc+3ca=6$
  208. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có : $\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2 +2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab }} \ge 3$
  209. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$ ta luôn có : $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+ \sqrt{\frac{c+a}{b+ca}} \ge 3$
  210. Chứng minh rằng : $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{ \frac{c}{c+a}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
  211. Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng : $\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1} + \frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\ge 0$
  212. Tìm GTLN của : $P=x\sqrt{\left(1-y^{2} \right)\left(1-z^{2} \right)}+y\sqrt{\left(1-z^{2} \right)\left(1-x^{2} \right)}+z\sqrt{\left(1-x^{2} \right)\left(1-y^{2} \right)}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
  213. Giả sử các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $ 0<a \le b \le c$. Chứng minh rằng: nếu $x,y,z$ là các số thực không âm thì: $ (ax+by+cz)(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}) \le \dfrac{(a+c)^2}{4ac}(x+y+z)^2$
  214. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $\frac{a+1}{ab+1}+\frac{b+1}{bc+1} + \frac{c+1}{ca+1}\ge 3$
  215. Tìm min : $P=\frac{1}{xy+yz+zx}(\frac{y^2+2x^2+z^2}{x+1}+ \frac {x^2+2y^2+z^2}{y+1}+\frac {x^2+2z^2+y^2}{z+1}) $
  216. Chứng minh rằng $ab+bc+ca+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1} \ge 27+3\sqrt{10}$
  217. Tìm min: P=$\frac{1}{\sqrt{2x^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z^2-1}}$
  218. Cho các số thực $a,b,c\in \left[1;2 \right]$. Chứng minh bất đẳng thức sau : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$
  219. Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $1.\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$
  220. Cho $x\geq y\geq z>0.$ Chứng minh rằng: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$
  221. Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab} $
  222. Cho các số thực dương $x,y,z$. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{3x+7(y+z)}+ \frac{y}{3y+7(z+x)} +\frac{z}{3z +7(x+y)}$
  223. Tìm min: $P=3(a+b+c)-5abc$
  224. Chứng minh rằng $\frac{1} {x(y+z)}+\frac{1} {y(z+x)}+\frac{1} {z(x+y)}>\frac{5} {x+y+z}$
  225. Chứng minh: $\sum \dfrac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2} \le \dfrac{18}{5}.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$
  226. Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : $\frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^4}{c^2+bc+b^2} \leq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
  227. Câu V. Đề thi thử chuyên Thái Nguyên
  228. $\frac{{{a^4}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{a + b + c}}$
  229. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a^2 + 2b^2}{ab}$
  230. Chứng minh rằng: $\frac{33}{10} \le \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \le \frac{11}{2}$
  231. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng : $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^ 2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2} \leq \frac{a+b+c}{4}$
  232. Tìm max: $P=xy^2(x+2y)$
  233. Cho $x,y,z\ge 0$. Chứng minh $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{ 2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$
  234. Tìm GTLN của $P= a^{3}+b^{3}+c^{3}$
  235. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 = 3$.CMR : $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2 +a^2}{c+a} \geq 3$
  236. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}})$
  237. Cho các số thực không âm $a,b,c $thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng không $0$. CMR : $\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^ 2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geq 2$
  238. Bất đẳng thức sáng tạo từ các thành viên k2pi.net
  239. CMR: $\sum \frac{a}{2b+c}+ \frac{27}{4}\cdot \frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2}\ge 3$
  240. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\log_{a^2}b}{a^2+b}+\frac{\log_{b^2}c}{b^ 2+c}+\frac{\log_{c^2}a}{c^2+a}$
  241. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$ và $a+2b+3c=4$. Tìm Min của : $$P = \frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+c^2 }}$$
  242. Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $x^2+2y^2+5z^2=22$. Tìm Giá trị nhỏ nhất của : $$P = xy-yz-zx$$
  243. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c+1=4abc$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{a^4+b+c}+\frac{1}{b^4+c+a}+\frac{1}{c^4 +a+b} \leq \frac{3}{a+b+c}$$
  244. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng : $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{a^2+2012b^2}{a^3+2013b^3}+\frac{b^2+2012c^2} {b^3+2012c^3}+\frac{c^2+2012a^2}{c^3+2012a^3}$$
  245. Câu 6 đề ôn tập môn Toán toantuoitre.eazy.vn
  246. Chứng minh rằng : $\dfrac{a}{b^2+5}+ \dfrac{b}{c^2+5} + \dfrac{c}{a^2+5} \le \dfrac 12$
  247. Tìm GTNN của biểu thức : $P = \frac{{2 + a}}{{1 + {b^2}}} + \frac{{2 + b}}{{1 + {c^2}}} + \frac{{2 + c}}{{1 + {a^2}}}$
  248. Tìm GTLN của biểu thức:$P=a^3+b^3+c^3$
  249. Tìm max: $P=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{ (y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$
  250. Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện: $x+2y+z=5$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{4x + 2y + z}}{{2xy + xz}} + \frac{{x - y}}{2} - \frac{z}{4}$